Номер 3, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 3, страница 182.

Условие.

3 Напишите формулу суммы кубов. Проведите доказательство.

Решение 1.

Решение 5.

Формула суммы кубов

Формула суммы кубов — это тождество, которое используется для разложения на множители суммы двух кубов. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

В общем виде формула записывается так:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Здесь $a$ и $b$ могут быть любыми числами или математическими выражениями. Выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности, так как полный квадрат разности выглядел бы как $a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Доказательство

Для доказательства тождества необходимо показать, что правая часть формулы равна левой. Мы сделаем это, раскрыв скобки в правой части выражения $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ путем умножения многочлена на многочлен.

1. Умножим каждый член первого многочлена $(a+b)$ на второй многочлен $(a^2 - ab + b^2)$:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

2. Раскроем скобки, умножая $a$ и $b$ на каждый член во второй скобке:

$= (a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2) + (b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2)$

$= (a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3)$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= a^3 - a^2b + a^2b + ab^2 - ab^2 + b^3$

Как мы видим, члены $-a^2b$ и $+a^2b$ взаимно уничтожаются (их сумма равна нулю), так же как и члены $+ab^2$ и $-ab^2$.

$= a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате мы получили выражение $a^3 + b^3$, которое в точности совпадает с левой частью исходной формулы. Это доказывает, что равенство является тождеством.

Ответ: Доказательство выполнено путем преобразования правой части формулы $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ в левую часть $a^3 + b^3$ через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, что подтверждает верность тождества.