Номер 5, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 5, страница 182.

Условие.

5. Разложите на множители многочлен $16t^2-1$; $p^3+8$; $m^3-27$.

Решение 1.

Решение 5.

$16t^2 - 1$

Для разложения этого многочлена на множители используется формула сокращенного умножения, а именно формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала представим каждый член данного двучлена в виде квадрата.
Первый член: $16t^2 = (4t)^2$.
Второй член: $1 = 1^2$.

Таким образом, выражение $16t^2 - 1$ можно переписать в виде $(4t)^2 - 1^2$. В этом случае, согласно формуле, $a = 4t$ и $b = 1$.

Теперь применим формулу разности квадратов:
$(4t)^2 - 1^2 = (4t - 1)(4t + 1)$.

Ответ: $(4t - 1)(4t + 1)$.

$p^3 + 8$

Этот многочлен раскладывается на множители с помощью формулы суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член двучлена в виде куба.
Первый член: $p^3$ уже является кубом переменной $p$.
Второй член: $8$ является кубом числа $2$, то есть $8 = 2^3$.

Следовательно, выражение $p^3 + 8$ можно записать как $p^3 + 2^3$. В этом случае, по формуле, $a = p$ и $b = 2$.

Применяя формулу суммы кубов и подставляя наши значения, получаем:
$p^3 + 2^3 = (p + 2)(p^2 - p \cdot 2 + 2^2) = (p + 2)(p^2 - 2p + 4)$.

Ответ: $(p + 2)(p^2 - 2p + 4)$.

$m^3 - 27$

Для разложения этого многочлена на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждый член двучлена в виде куба.
Первый член: $m^3$ уже является кубом переменной $m$.
Второй член: $27$ является кубом числа $3$, то есть $27 = 3^3$.

Следовательно, выражение $m^3 - 27$ можно записать как $m^3 - 3^3$. В этом случае, по формуле, $a = m$ и $b = 3$.

Применяя формулу разности кубов и подставляя наши значения, получаем:
$m^3 - 3^3 = (m - 3)(m^2 + m \cdot 3 + 3^2) = (m - 3)(m^2 + 3m + 9)$.

Ответ: $(m - 3)(m^2 + 3m + 9)$.