Номер 4, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 4, страница 182.

Условие.

4. Напишите формулу разности кубов. Проведите доказательство.

Решение 1.

Решение 5.

Напишите формулу разности кубов

Формула разности кубов — это одна из формул сокращенного умножения, которая позволяет разложить на множители разность кубов двух выражений. Для любых выражений $a$ и $b$ формула выглядит следующим образом:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Словесно это тождество можно сформулировать так: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Проведите доказательство

Для того чтобы доказать справедливость формулы разности кубов, необходимо показать, что ее правая часть тождественно равна левой. Для этого мы преобразуем правую часть, выполнив умножение многочленов.

Возьмем правую часть формулы: $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена $(a - b)$ на второй многочлен $(a^2 + ab + b^2)$:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Теперь выполним умножение каждого члена на многочлен в скобках:

$= (a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2) - (b \cdot a^2 + b \cdot ab + b \cdot b^2)$

$= (a^3 + a^2b + ab^2) - (a^2b + ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех членов внутри них на противоположные:

$= a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3$

Подобные члены взаимно уничтожаются:

$= a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть формулы: $a^3 - b^3$. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство основано на раскрытии скобок в произведении $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$. После выполнения умножения и приведения подобных слагаемых $(a^2b \text{ и } -a^2b, ab^2 \text{ и } -ab^2)$ итоговое выражение равно $a^3 - b^3$, что и требовалось доказать.