Номер 913, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Разложение на множители суммы и разности кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 913, страница 182.

Условие.

913. Докажите, что значение выражения:

а) $327^3 + 173^3$ делится на 500; в) $211^3 + 129^3$ делится на 17;

б) $731^3 - 631^3$ делится на 100; г) $356^3 - 245^3$ делится на 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $327^3 + 173^3$, где $a = 327$ и $b = 173$:
$327^3 + 173^3 = (327 + 173)(327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2)$.
Найдем значение первого множителя (суммы оснований):
$327 + 173 = 500$.
Таким образом, выражение можно представить в виде:
$500 \cdot (327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2)$.
Поскольку один из множителей равен 500, а второй множитель является целым числом, все произведение делится нацело на 500. Что и требовалось доказать.
Ответ: Значение выражения $327^3 + 173^3$ делится на 500.

б) Для доказательства используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $731^3 - 631^3$, где $a = 731$ и $b = 631$:
$731^3 - 631^3 = (731 - 631)(731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)$.
Найдем значение первого множителя (разности оснований):
$731 - 631 = 100$.
Таким образом, выражение можно представить в виде:
$100 \cdot (731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)$.
Поскольку один из множителей равен 100, а второй множитель является целым числом, все произведение делится нацело на 100. Что и требовалось доказать.
Ответ: Значение выражения $731^3 - 631^3$ делится на 100.

в) Для доказательства используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $211^3 + 129^3$, где $a = 211$ и $b = 129$:
$211^3 + 129^3 = (211 + 129)(211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2)$.
Найдем значение первого множителя (суммы оснований):
$211 + 129 = 340$.
Проверим, делится ли число 340 на 17:
$340 \div 17 = 20$.
Таким образом, выражение можно представить в виде:
$340 \cdot (211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2) = 17 \cdot 20 \cdot (211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2)$.
Поскольку в разложении произведения на множители есть число 17, все выражение делится нацело на 17. Что и требовалось доказать.
Ответ: Значение выражения $211^3 + 129^3$ делится на 17.

г) Для доказательства используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $356^3 - 245^3$, где $a = 356$ и $b = 245$:
$356^3 - 245^3 = (356 - 245)(356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)$.
Найдем значение первого множителя (разности оснований):
$356 - 245 = 111$.
Проверим, делится ли число 111 на 3. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, что делится на 3. Следовательно, и само число 111 делится на 3.
$111 \div 3 = 37$.
Таким образом, выражение можно представить в виде:
$111 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2) = 3 \cdot 37 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)$.
Поскольку в разложении произведения на множители есть число 3, все выражение делится нацело на 3. Что и требовалось доказать.
Ответ: Значение выражения $356^3 - 245^3$ делится на 3.