Номер 907, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Разложение на множители суммы и разности кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 907, страница 181.

Условие.

907. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

а) $8x^3 - 1$;

б) $1 + 27y^3$;

в) $8 - \frac{1}{8}a^3$;

г) $\frac{1}{64}m^3 + 1000$;

д) $125a^3 - 64b^3$;

е) $\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить на множители выражение $8x^3 - 1$, сначала представим его в виде разности кубов. Так как $8x^3 = (2x)^3$ и $1 = 1^3$, то выражение можно записать как $(2x)^3 - 1^3$. Далее воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где в нашем случае $a = 2x$ и $b = 1$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $(2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

б) Представим выражение $1 + 27y^3$ в виде суммы кубов. Поскольку $1 = 1^3$ и $27y^3 = (3y)^3$, выражение можно переписать как $1^3 + (3y)^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 1$ и $b = 3y$. Подстановка дает: $(1 + 3y)(1^2 - (1)(3y) + (3y)^2) = (1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$.

Ответ: $(1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$

в) Выражение $8 - \frac{1}{8}a^3$ необходимо представить в виде разности кубов. Заметим, что $8 = 2^3$ и $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$. Таким образом, получаем $2^3 - (\frac{1}{2}a)^3$. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 2$ и $b = \frac{1}{2}a$. Получаем: $(2 - \frac{1}{2}a)(2^2 + (2)(\frac{1}{2}a) + (\frac{1}{2}a)^2) = (2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2)$.

Ответ: $(2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2)$

г) Представим выражение $\frac{1}{64}m^3 + 1000$ в виде суммы кубов. Так как $\frac{1}{64}m^3 = (\frac{1}{4}m)^3$ и $1000 = 10^3$, имеем $(\frac{1}{4}m)^3 + 10^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ при $a = \frac{1}{4}m$ и $b = 10$. Получаем: $(\frac{1}{4}m + 10)((\frac{1}{4}m)^2 - (\frac{1}{4}m)(10) + 10^2) = (\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{10}{4}m + 100) = (\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100)$.

Ответ: $(\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100)$

д) Выражение $125a^3 - 64b^3$ представим как разность кубов. $125a^3 = (5a)^3$ и $64b^3 = (4b)^3$, значит, выражение равно $(5a)^3 - (4b)^3$. Применяя формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = 5a$ и $y = 4b$, получаем: $(5a - 4b)((5a)^2 + (5a)(4b) + (4b)^2) = (5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$.

Ответ: $(5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$

е) Представим $\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3$ в виде суммы кубов. Поскольку $\frac{1}{27}x^3 = (\frac{1}{3}x)^3$ и $\frac{1}{125}y^3 = (\frac{1}{5}y)^3$, выражение можно переписать как $(\frac{1}{3}x)^3 + (\frac{1}{5}y)^3$. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \frac{1}{3}x$ и $b = \frac{1}{5}y$. Подставляя, получаем: $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)((\frac{1}{3}x)^2 - (\frac{1}{3}x)(\frac{1}{5}y) + (\frac{1}{5}y)^2) = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2)$