Номер 911, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Разложение на множители суммы и разности кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 911, страница 182.

Условие.

911. Запишите в виде произведения:

а) $-x^3 + y^3;$

б) $-8 - p^3;$

в) $-a^6 + \frac{1}{8};$

г) $-\frac{1}{27} - b^6;$

д) $c^6 + 1;$

е) $x^6 + y^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения, а именно сумма и разность кубов:

• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Для выражений со степенью 6, мы будем представлять их как куб выражения в квадрате, например, $x^6 = (x^2)^3$.

а)

Исходное выражение: $-x^3 + y^3$.

Переставим слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид разности кубов: $y^3 - x^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = y$ и $b = x$.

Подставляем наши значения в формулу:

$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + yx + x^2)$.

Ответ: $(y - x)(y^2 + xy + x^2)$

б)

Исходное выражение: $-8 - p^3$.

Вынесем знак минус за скобки: $-(8 + p^3)$.

Теперь разложим на множители выражение в скобках. Это сумма кубов, так как $8 = 2^3$.

$8 + p^3 = 2^3 + p^3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 2$ и $b = p$.

$2^3 + p^3 = (2 + p)(2^2 - 2 \cdot p + p^2) = (2 + p)(4 - 2p + p^2)$.

Вернем знак минус и запишем конечный результат, упорядочив слагаемые в многочленах по убыванию степени переменной.

Ответ: $-(p + 2)(p^2 - 2p + 4)$

в)

Исходное выражение: $-a^6 + \frac{1}{8}$.

Переставим слагаемые: $\frac{1}{8} - a^6$.

Представим это выражение как разность кубов. Заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ и $a^6 = (a^2)^3$.

Получаем: $(\frac{1}{2})^3 - (a^2)^3$.

Применяем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{2}$ и $y = a^2$.

$(\frac{1}{2} - a^2)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot a^2 + (a^2)^2) = (\frac{1}{2} - a^2)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4)$.

Упорядочим слагаемые во второй скобке по убыванию степени.

Ответ: $(\frac{1}{2} - a^2)(a^4 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{4})$

г)

Исходное выражение: $-\frac{1}{27} - b^6$.

Вынесем минус за скобки: $-(\frac{1}{27} + b^6)$.

Представим выражение в скобках как сумму кубов: $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ и $b^6 = (b^2)^3$.

Получаем: $(\frac{1}{3})^3 + (b^2)^3$.

Применяем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{3}$ и $y = b^2$.

$(\frac{1}{3} + b^2)((\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} \cdot b^2 + (b^2)^2) = (\frac{1}{3} + b^2)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}b^2 + b^4)$.

Возвращаем знак минус и упорядочиваем слагаемые.

Ответ: $-(b^2 + \frac{1}{3})(b^4 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9})$

д)

Исходное выражение: $c^6 + 1$.

Представим его как сумму кубов, заметив, что $c^6 = (c^2)^3$ и $1 = 1^3$.

Получаем: $(c^2)^3 + 1^3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = c^2$ и $b = 1$.

$(c^2 + 1)((c^2)^2 - c^2 \cdot 1 + 1^2) = (c^2 + 1)(c^4 - c^2 + 1)$.

Ответ: $(c^2 + 1)(c^4 - c^2 + 1)$

е)

Исходное выражение: $x^6 + y^6$.

Представим его как сумму кубов: $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$.

Получаем: $(x^2)^3 + (y^2)^3$.

Применяем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = x^2$ и $b = y^2$.

$(x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$.

Ответ: $(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$