Номер 909, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Разложение на множители суммы и разности кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 909, страница 182.

Условие.

909. Запишите в виде произведения выражения:

a) $x^3 - y^6$;

б) $a^6 + b^3$;

в) $m^9 - n^3$;

г) $p^3 + k^9$;

д) $a^6 + b^9$;

е) $x^9 - y^9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения, а именно формулы суммы и разности кубов:
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

а) Представим выражение $x^3 - y^6$ в виде разности кубов. Для этого заметим, что $y^6$ можно записать как $(y^2)^3$. Таким образом, мы получаем выражение вида $A^3 - B^3$, где $A = x$ и $B = y^2$. Применим формулу разности кубов:
$x^3 - (y^2)^3 = (x - y^2)(x^2 + x \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x - y^2)(x^2 + xy^2 + y^4)$.
Ответ: $(x - y^2)(x^2 + xy^2 + y^4)$.

б) Представим выражение $a^6 + b^3$ в виде суммы кубов. Для этого заметим, что $a^6$ можно записать как $(a^2)^3$. Таким образом, мы получаем выражение вида $A^3 + B^3$, где $A = a^2$ и $B = b$. Применим формулу суммы кубов:
$(a^2)^3 + b^3 = (a^2 + b)((a^2)^2 - a^2 \cdot b + b^2) = (a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.
Ответ: $(a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.

в) Представим выражение $m^9 - n^3$ в виде разности кубов. Заметим, что $m^9 = (m^3)^3$. Получаем выражение вида $A^3 - B^3$, где $A = m^3$ и $B = n$. Применим формулу разности кубов:
$(m^3)^3 - n^3 = (m^3 - n)((m^3)^2 + m^3 \cdot n + n^2) = (m^3 - n)(m^6 + m^3n + n^2)$.
Ответ: $(m^3 - n)(m^6 + m^3n + n^2)$.

г) Представим выражение $p^3 + k^9$ в виде суммы кубов. Заметим, что $k^9 = (k^3)^3$. Получаем выражение вида $A^3 + B^3$, где $A = p$ и $B = k^3$. Применим формулу суммы кубов:
$p^3 + (k^3)^3 = (p + k^3)(p^2 - p \cdot k^3 + (k^3)^2) = (p + k^3)(p^2 - pk^3 + k^6)$.
Ответ: $(p + k^3)(p^2 - pk^3 + k^6)$.

д) Представим выражение $a^6 + b^9$ в виде суммы кубов. Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $b^9 = (b^3)^3$. Получаем выражение вида $A^3 + B^3$, где $A = a^2$ и $B = b^3$. Применим формулу суммы кубов:
$(a^2)^3 + (b^3)^3 = (a^2 + b^3)((a^2)^2 - a^2 \cdot b^3 + (b^3)^2) = (a^2 + b^3)(a^4 - a^2b^3 + b^6)$.
Ответ: $(a^2 + b^3)(a^4 - a^2b^3 + b^6)$.

е) Представим выражение $x^9 - y^9$ в виде разности кубов. Заметим, что $x^9 = (x^3)^3$ и $y^9 = (y^3)^3$. Получаем выражение вида $A^3 - B^3$, где $A = x^3$ и $B = y^3$. Применим формулу разности кубов:
$(x^3)^3 - (y^3)^3 = (x^3 - y^3)((x^3)^2 + x^3y^3 + (y^3)^2) = (x^3 - y^3)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.
Обратим внимание, что первый множитель $(x^3 - y^3)$ также является разностью кубов и может быть разложен дальше. Применим к нему ту же формулу:
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Подставим это разложение в наше выражение, чтобы получить окончательный ответ:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.
Ответ: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.