Номер 905, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Разложение на множители суммы и разности кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 905, страница 181.

Условие.

905. Разложите на множители многочлен:

а) $x^3 + y^3$;

б) $m^3 - n^3$;

в) $8 + a^3$;

г) $27 - y^3$;

д) $t^3 + 1$;

е) $1 - c^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения многочлена $x^3 + y^3$ на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае переменные в формуле соответствуют переменным в выражении, поэтому мы можем применить формулу напрямую.
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

б) Для разложения многочлена $m^3 - n^3$ на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Аналогично предыдущему пункту, просто подставляем переменные в формулу.
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Ответ: $(m - n)(m^2 + mn + n^2)$

в) В выражении $8 + a^3$ необходимо сначала представить число 8 в виде куба. Мы знаем, что $2^3 = 8$. Таким образом, выражение можно переписать как $2^3 + a^3$. Теперь мы можем применить формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где в роли $a$ выступает 2, а в роли $b$ — переменная $a$.
$8 + a^3 = 2^3 + a^3 = (2 + a)(2^2 - 2 \cdot a + a^2) = (2 + a)(4 - 2a + a^2)$.
Ответ: $(2 + a)(4 - 2a + a^2)$

г) В выражении $27 - y^3$ представим число 27 в виде куба: $3^3 = 27$. Выражение принимает вид $3^3 - y^3$. Теперь применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 3$ и $b = y$.
$27 - y^3 = 3^3 - y^3 = (3 - y)(3^2 + 3 \cdot y + y^2) = (3 - y)(9 + 3y + y^2)$.
Ответ: $(3 - y)(9 + 3y + y^2)$

д) В многочлене $t^3 + 1$ число 1 можно представить как $1^3$. Таким образом, мы получаем сумму кубов $t^3 + 1^3$. Применяем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = t$ и $b = 1$.
$t^3 + 1 = t^3 + 1^3 = (t + 1)(t^2 - t \cdot 1 + 1^2) = (t + 1)(t^2 - t + 1)$.
Ответ: $(t + 1)(t^2 - t + 1)$

е) В выражении $1 - c^3$ число 1 можно представить как $1^3$, что дает нам разность кубов $1^3 - c^3$. Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 1$ и $b = c$.
$1 - c^3 = 1^3 - c^3 = (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1 - c)(1 + c + c^2)$.
Ответ: $(1 - c)(1 + c + c^2)$