Номер 899, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 899, страница 179.

Условие.

899. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 73). Площадь одного квадрата на 95 $см^2$ больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.

Рис. 73

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим ширину прямоугольника как w см, а длину — как l см.

По условию задачи, длина прямоугольника на 5 см больше его ширины. Это можно записать в виде уравнения:
$l = w + 5$

На сторонах прямоугольника построены два квадрата. Сторона одного квадрата равна ширине прямоугольника w, а другого — длине l. Поскольку длина больше ширины ($l > w$), то и площадь квадрата, построенного на длине, будет больше.
Площадь меньшего квадрата: $S_1 = w^2$.
Площадь большего квадрата: $S_2 = l^2$.

Известно, что разница площадей квадратов составляет 95 см². Запишем это в виде уравнения:
$S_2 - S_1 = 95$
$l^2 - w^2 = 95$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $l = w + 5$
2) $l^2 - w^2 = 95$

Подставим выражение для l из первого уравнения во второе:
$(w + 5)^2 - w^2 = 95$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(w^2 + 2 \cdot w \cdot 5 + 5^2) - w^2 = 95$
$w^2 + 10w + 25 - w^2 = 95$

Упростим полученное уравнение, сократив $w^2$ и $-w^2$:
$10w + 25 = 95$

Теперь решим это линейное уравнение относительно w:
$10w = 95 - 25$
$10w = 70$
$w = \frac{70}{10} = 7$ (см).
Итак, ширина прямоугольника равна 7 см.

Теперь найдем длину прямоугольника, подставив значение w в первое уравнение:
$l = w + 5 = 7 + 5 = 12$ (см).
Длина прямоугольника равна 12 см.

Последний шаг — найти периметр прямоугольника. Периметр вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$:
$P = 2(12 + 7)$
$P = 2 \cdot 19$
$P = 38$ (см).

Ответ: периметр прямоугольника равен 38 см.