Номер 893, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 893, страница 179.

Условие.

893. Разложите на множители:

а) $64 - y^4$;

б) $x^2 - c^6$;

в) $a^4 - b^8$;

г) $25m^6 - n^2$;

д) $1 - 49p^{10}$;

е) $4y^6 - 9a^4$;

ж) $64 - a^4b^4$;

з) $16b^2c^{12} - 0,25$;

и) $81x^6y^2 - 0,36a^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех пунктов этого задания мы будем использовать формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Исходное выражение $64 - y^4$. Представим каждый член этого выражения в виде квадрата: $64 = 8^2$ и $y^4 = (y^2)^2$. Таким образом, мы получаем разность квадратов: $8^2 - (y^2)^2$. Применив формулу, где $a=8$ и $b=y^2$, получим разложение на множители.
$64 - y^4 = 8^2 - (y^2)^2 = (8 - y^2)(8 + y^2)$.
Ответ: $(8 - y^2)(8 + y^2)$.

б) Исходное выражение $x^2 - c^6$. Представим $c^6$ как квадрат выражения $c^3$, то есть $c^6 = (c^3)^2$. Теперь выражение имеет вид $x^2 - (c^3)^2$, что является разностью квадратов. Применим формулу, где $a=x$ и $b=c^3$.
$x^2 - c^6 = x^2 - (c^3)^2 = (x - c^3)(x + c^3)$.
Ответ: $(x - c^3)(x + c^3)$.

в) Исходное выражение $a^4 - b^8$. Представим его как разность квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$. Получаем $(a^2)^2 - (b^4)^2$. Применяем формулу, где $a_{формулы}=a^2$ и $b_{формулы}=b^4$.
$a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 = (a^2 - b^4)(a^2 + b^4)$.
Обратим внимание, что первый множитель $a^2 - b^4$ также является разностью квадратов: $a^2 - (b^2)^2 = (a - b^2)(a + b^2)$. Второй множитель $a^2 + b^4$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Окончательное разложение: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.
Ответ: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.

г) Исходное выражение $25m^6 - n^2$. Представим $25m^6$ в виде квадрата: $25m^6 = (5m^3)^2$. Выражение принимает вид $(5m^3)^2 - n^2$. Это разность квадратов, где $a=5m^3$ и $b=n$.
$25m^6 - n^2 = (5m^3)^2 - n^2 = (5m^3 - n)(5m^3 + n)$.
Ответ: $(5m^3 - n)(5m^3 + n)$.

д) Исходное выражение $1 - 49p^{10}$. Представим его как разность квадратов: $1=1^2$ и $49p^{10} = (7p^5)^2$. Получаем $1^2 - (7p^5)^2$. Применяем формулу, где $a=1$ и $b=7p^5$.
$1 - 49p^{10} = 1^2 - (7p^5)^2 = (1 - 7p^5)(1 + 7p^5)$.
Ответ: $(1 - 7p^5)(1 + 7p^5)$.

е) Исходное выражение $4y^6 - 9a^4$. Представим каждый член в виде квадрата: $4y^6 = (2y^3)^2$ и $9a^4 = (3a^2)^2$. Выражение становится $(2y^3)^2 - (3a^2)^2$. Это разность квадратов, где $a=2y^3$ и $b=3a^2$.
$4y^6 - 9a^4 = (2y^3)^2 - (3a^2)^2 = (2y^3 - 3a^2)(2y^3 + 3a^2)$.
Ответ: $(2y^3 - 3a^2)(2y^3 + 3a^2)$.

ж) Исходное выражение $64 - a^4b^4$. Представим его как разность квадратов: $64=8^2$ и $a^4b^4 = (a^2b^2)^2$. Получаем $8^2 - (a^2b^2)^2$. Применяем формулу, где $a=8$ и $b=a^2b^2$.
$64 - a^4b^4 = 8^2 - (a^2b^2)^2 = (8 - a^2b^2)(8 + a^2b^2)$.
Ответ: $(8 - a^2b^2)(8 + a^2b^2)$.

з) Исходное выражение $16b^2c^{12} - 0,25$. Представим его как разность квадратов. $16b^2c^{12} = (4bc^6)^2$ и $0,25 = (0,5)^2$. Получаем $(4bc^6)^2 - (0,5)^2$. Применяем формулу, где $a=4bc^6$ и $b=0,5$.
$16b^2c^{12} - 0,25 = (4bc^6)^2 - (0,5)^2 = (4bc^6 - 0,5)(4bc^6 + 0,5)$.
Ответ: $(4bc^6 - 0,5)(4bc^6 + 0,5)$.

и) Исходное выражение $81x^6y^2 - 0,36a^2$. Представим члены выражения в виде квадратов: $81x^6y^2 = (9x^3y)^2$ и $0,36a^2 = (0,6a)^2$. Выражение принимает вид $(9x^3y)^2 - (0,6a)^2$. По формуле разности квадратов, где $a=9x^3y$ и $b=0,6a$, получаем разложение.
$81x^6y^2 - 0,36a^2 = (9x^3y)^2 - (0,6a)^2 = (9x^3y - 0,6a)(9x^3y + 0,6a)$.
Ответ: $(9x^3y - 0,6a)(9x^3y + 0,6a)$.