Номер 895, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 895, страница 179.

Условие.

895. Разложите на множители:

а) $9y^2 - (1 + 2y)^2$;

б) $(3c - 5)^2 - 16c^2$;

в) $49x^2 - (y + 8x)^2$;

г) $(5a - 3b)^2 - 25a^2$;

д) $(-2a^2 + 3b)^2 - 4a^4$;

е) $b^6 - (x - 4b^3)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для разложения на множители во всех пунктах используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $9y^2 - (1 + 2y)^2$

В этом выражении $a^2 = 9y^2$, поэтому $a = 3y$.
Второй член $b^2 = (1 + 2y)^2$, поэтому $b = 1 + 2y$.

Подставляем в формулу разности квадратов:

$(3y - (1 + 2y))(3y + (1 + 2y))$

Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:

$(3y - 1 - 2y)(3y + 1 + 2y) = (y - 1)(5y + 1)$

Ответ: $(y - 1)(5y + 1)$.

б) $(3c - 5)^2 - 16c^2$

Здесь $a^2 = (3c - 5)^2$, поэтому $a = 3c - 5$.
Второй член $b^2 = 16c^2$, поэтому $b = 4c$.

Подставляем в формулу:

$((3c - 5) - 4c)((3c - 5) + 4c)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(3c - 5 - 4c)(3c - 5 + 4c) = (-c - 5)(7c - 5)$

Ответ: $(-c - 5)(7c - 5)$.

в) $49x^2 - (y + 8x)^2$

Здесь $a^2 = 49x^2$, поэтому $a = 7x$.
Второй член $b^2 = (y + 8x)^2$, поэтому $b = y + 8x$.

Подставляем в формулу:

$(7x - (y + 8x))(7x + (y + 8x))$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$(7x - y - 8x)(7x + y + 8x) = (-x - y)(15x + y)$

Ответ: $(-x - y)(15x + y)$.

г) $(5a - 3b)^2 - 25a^2$

Здесь $a^2 = (5a - 3b)^2$, поэтому $a = 5a - 3b$.
Второй член $b^2 = 25a^2$, поэтому $b = 5a$.

Подставляем в формулу:

$((5a - 3b) - 5a)((5a - 3b) + 5a)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(5a - 3b - 5a)(5a - 3b + 5a) = (-3b)(10a - 3b)$

Ответ: $-3b(10a - 3b)$.

д) $(-2a^2 + 3b)^2 - 4a^4$

Представим $4a^4$ в виде квадрата: $4a^4 = (2a^2)^2$.
Теперь выражение имеет вид разности квадратов, где $a = -2a^2 + 3b$ и $b = 2a^2$.

Подставляем в формулу:

$((-2a^2 + 3b) - 2a^2)((-2a^2 + 3b) + 2a^2)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(-2a^2 + 3b - 2a^2)(-2a^2 + 3b + 2a^2) = (-4a^2 + 3b)(3b)$

Для удобства можно записать так: $3b(3b - 4a^2)$.

Ответ: $3b(3b - 4a^2)$.

е) $b^6 - (x - 4b^3)^2$

Представим $b^6$ в виде квадрата: $b^6 = (b^3)^2$.
Выражение является разностью квадратов, где $a = b^3$ и $b = x - 4b^3$.

Подставляем в формулу:

$(b^3 - (x - 4b^3))(b^3 + (x - 4b^3))$

Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:

$(b^3 - x + 4b^3)(b^3 + x - 4b^3) = (5b^3 - x)(x - 3b^3)$

Ответ: $(5b^3 - x)(x - 3b^3)$.