Номер 939, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 939, страница 188.

Условие.

939. Разложите на множители:

а) $3x^2 + 6xy + 3y^2$;

б) $-m^2 + 2m - 1$;

в) $-4x - 4 - x^2$;

г) $6p^2 + 24q^2 + 24pq$;

д) $45x + 30ax + 5a^2x$;

е) $18cx^2 - 24cx + 8c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3x^2 + 6xy + 3y^2$

Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель. Все коэффициенты (3, 6, 3) делятся на 3. Получаем:

$3(x^2 + 2xy + y^2)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2xy + y^2$, представляет собой формулу сокращенного умножения, известную как "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=y$.

Следовательно, мы можем свернуть выражение в скобках:

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$

Подставляя это обратно, получаем итоговое разложение на множители.

Ответ: $3(x+y)^2$

б) $-m^2 + 2m - 1$

Для удобства вынесем за скобки общий множитель -1. Это изменит знаки всех слагаемых внутри скобок:

$-1(m^2 - 2m + 1) = -(m^2 - 2m + 1)$

Теперь выражение в скобках, $m^2 - 2m + 1$, является "квадратом разности" по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=m$ и $b=1$.

Сворачиваем выражение в скобках:

$m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$

Не забываем про знак минуса, который мы вынесли вначале.

Ответ: $-(m-1)^2$

в) $-4x - 4 - x^2$

Сначала переставим слагаемые в стандартном порядке по убыванию степеней переменной $x$:

$-x^2 - 4x - 4$

Вынесем за скобки общий множитель -1:

$-(x^2 + 4x + 4)$

Выражение в скобках, $x^2 + 4x + 4$, является "квадратом суммы" по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В этом случае $a=x$ и $b=2$. Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.

Сворачиваем выражение в скобках:

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

Таким образом, окончательный результат:

Ответ: $-(x+2)^2$

г) $6p^2 + 24q^2 + 24pq$

Для наглядности переставим слагаемые, чтобы получить стандартный вид трехчлена:

$6p^2 + 24pq + 24q^2$

Вынесем за скобки общий числовой множитель. Наибольший общий делитель для 6, 24 и 24 равен 6.

$6(p^2 + 4pq + 4q^2)$

Выражение в скобках, $p^2 + 4pq + 4q^2$, является "квадратом суммы" $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=p$ и $b=2q$. Проверим: $a^2=p^2$, $b^2=(2q)^2=4q^2$ и $2ab=2 \cdot p \cdot (2q) = 4pq$. Все сходится.

Сворачиваем выражение:

$p^2 + 4pq + 4q^2 = (p+2q)^2$

Ответ: $6(p+2q)^2$

д) $45x + 30ax + 5a^2x$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов 45, 30, 5 общим делителем является 5. Переменная $x$ также является общей для всех слагаемых. Таким образом, общий множитель - это $5x$.

$5x(9 + 6a + a^2)$

Переставим слагаемые в скобках в стандартном порядке:

$5x(a^2 + 6a + 9)$

Выражение в скобках, $a^2 + 6a + 9$, является "квадратом суммы" $(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$. Здесь $c=a$ и $d=3$. Проверим: $2cd = 2 \cdot a \cdot 3 = 6a$.

Сворачиваем выражение:

$a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$

Ответ: $5x(a+3)^2$

е) $18cx^2 - 24cx + 8c$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов 18, 24, 8 общим делителем является 2. Переменная $c$ также является общей. Значит, общий множитель - это $2c$.

$2c(9x^2 - 12x + 4)$

Выражение в скобках, $9x^2 - 12x + 4$, является "квадратом разности" $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3x$ и $b=2$. Проверим: $a^2=(3x)^2=9x^2$, $b^2=2^2=4$ и $2ab=2 \cdot (3x) \cdot 2 = 12x$.

Сворачиваем выражение:

$9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$

Ответ: $2c(3x-2)^2$