Номер 945, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 945, страница 188.

Условие.

945. Разложите на множители:

a) $x^2 + 2xy + y^2 - m^2$;

б) $p^2 - a^2 - 2ab - b^2$;

в) $b^2 - c^2 - 8b + 16$;

г) $9 - c^2 + a^2 - 6a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 + 2xy + y^2 - m^2$
Сгруппируем первые три слагаемых. Выражение $x^2 + 2xy + y^2$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Таким образом, $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Подставив это в исходное выражение, получим:
$(x+y)^2 - m^2$
Теперь мы имеем разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. В нашем случае $A = x+y$ и $B = m$.
$(x+y)^2 - m^2 = ((x+y) - m)((x+y) + m) = (x+y-m)(x+y+m)$.
Ответ: $(x+y-m)(x+y+m)$

б) $p^2 - a^2 - 2ab - b^2$
Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки:
$p^2 - (a^2 + 2ab + b^2)$
Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2$.
$p^2 - (a+b)^2$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = p$ и $B = a+b$.
$(p - (a+b))(p + (a+b)) = (p-a-b)(p+a+b)$.
Ответ: $(p-a-b)(p+a+b)$

в) $b^2 - c^2 - 8b + 16$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:
$(b^2 - 8b + 16) - c^2$
Выражение в скобках $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=b$ и $b=4$.
$b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = (b-4)^2$
Теперь выражение выглядит как разность квадратов:
$(b-4)^2 - c^2$
Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = b-4$ и $B = c$.
$((b-4) - c)((b-4) + c) = (b-4-c)(b-4+c)$.
Ответ: $(b-c-4)(b+c-4)$

г) $9 - c^2 + a^2 - 6a$
Перегруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:
$(a^2 - 6a + 9) - c^2$
Выражение в скобках $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=3$.
$a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a-3)^2$
Получаем разность квадратов:
$(a-3)^2 - c^2$
Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a-3$ и $B = c$.
$((a-3) - c)((a-3) + c) = (a-3-c)(a-3+c)$.
Ответ: $(a-c-3)(a+c-3)$