Номер 948, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 948, страница 189.

Условие.

948. (Для работы в парах.) Используя калькулятор, найдите значение многочлена $3,5x^3 - 2,1x^2 + 1,9x - 16,7$ при $x = 3,7$.

1) Пусть один из вас вычислит с помощью калькулятора сначала значения каждого члена многочлена, затем значение многочлена, а другой выполнит преобразование многочлена по образцу, предложенному в примере 4 на с. 187, затем сделает вычисления с помощью калькулятора.

2) Отметьте затрату времени на выполнение задания в каждом случае.

3) Сравните полученные результаты и время, затраченное на решение задачи.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения значения многочлена $3,5x^3 - 2,1x^2 + 1,9x - 16,7$ при $x = 3,7$ используем два разных подхода, как предложено в задании.

1)

Выполним вычисления двумя способами.

Способ 1: Прямое вычисление каждого члена многочлена.

Сначала вычислим степени $x$ при $x = 3,7$:

$x^2 = 3,7^2 = 13,69$

$x^3 = 3,7^3 = 3,7 \cdot 13,69 = 50,653$

Теперь вычислим значение каждого члена многочлена и подставим полученные значения:

• $3,5x^3 = 3,5 \cdot 50,653 = 177,2855$
• $-2,1x^2 = -2,1 \cdot 13,69 = -28,749$
• $1,9x = 1,9 \cdot 3,7 = 7,03$
• $-16,7$

Сложим полученные значения, чтобы найти значение всего многочлена:

$177,2855 - 28,749 + 7,03 - 16,7 = 138,8665$

Способ 2: Преобразование многочлена по схеме Горнера.

Сначала преобразуем многочлен, последовательно вынося $x$ за скобки:

$3,5x^3 - 2,1x^2 + 1,9x - 16,7 = (3,5x^2 - 2,1x + 1,9)x - 16,7 = ((3,5x - 2,1)x + 1,9)x - 16,7$

Теперь выполним вычисления в соответствии с порядком действий в полученном выражении, подставляя $x = 3,7$:

1. $3,5 \cdot 3,7 - 2,1 = 12,95 - 2,1 = 10,85$
2. $10,85 \cdot 3,7 + 1,9 = 40,145 + 1,9 = 42,045$
3. $42,045 \cdot 3,7 - 16,7 = 155,5665 - 16,7 = 138,8665$

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным первым способом.

Ответ: Значение многочлена, вычисленное обоими способами, равно 138,8665.

2)

Оценим затраты времени на выполнение задания в каждом случае.

Первый способ (прямое вычисление) требует выполнения большего числа отдельных операций. Необходимо вычислить $x^2$ и $x^3$, затем выполнить три умножения и три сложения/вычитания. Это часто требует записи промежуточных результатов, что увеличивает время и вероятность ошибки.

Второй способ (схема Горнера) является более эффективным. Он сводит вычисление к последовательной цепочке операций "умножить-сложить/вычесть", повторяемой столько раз, какова степень многочлена. Для многочлена третьей степени это 3 умножения и 3 сложения/вычитания. Такую последовательность легко выполнить на калькуляторе без промежуточных записей, что значительно экономит время.

Ответ: Второй способ (преобразование многочлена) требует меньше времени, так как он более эффективен с точки зрения количества и последовательности операций.

3)

Сравним полученные результаты и время, затраченное на решение задачи.

Результаты: Оба способа дали абсолютно одинаковый результат: $138,8665$. Это говорит о математической эквивалентности обоих подходов.

Время: Второй способ (схема Горнера) оказался значительно быстрее и удобнее для вычислений на калькуляторе. Он требует меньше действий и не нуждается в записи промежуточных итогов, что снижает как временные затраты, так и риск допустить ошибку.

Таким образом, преобразование многочлена является предпочтительным методом для вычисления его значения, особенно при использовании калькулятора.

Ответ: Результаты вычислений совпадают, однако второй способ позволяет решить задачу быстрее и с меньшей вероятностью ошибки.