Номер 952, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 952, страница 189.

Условие.

952. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства этого утверждения необходимо представить два последовательных нечётных числа в общем виде и найти разность их квадратов.

Любое нечётное число можно записать в виде $2n + 1$, где $n$ — любое целое число.

Тогда следующее за ним нечётное число будет на 2 больше, то есть: $(2n + 1) + 2 = 2n + 3$.

Теперь составим выражение для разности квадратов этих двух чисел, вычитая из квадрата большего числа квадрат меньшего:

$(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В нашем случае $a = 2n + 3$ и $b = 2n + 1$.

Подставим наши значения в формулу:

$((2n + 3) - (2n + 1)) \cdot ((2n + 3) + (2n + 1))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(2n + 3 - 2n - 1) \cdot (2n + 3 + 2n + 1)$

$(2) \cdot (4n + 4)$

Вынесем общий множитель 4 из второй скобки:

$2 \cdot 4(n + 1) = 8(n + 1)$

Полученное в результате преобразований выражение $8(n + 1)$ имеет множитель 8. Так как $n$ является целым числом, то и сумма $(n + 1)$ также является целым числом. Следовательно, произведение $8(n + 1)$ всегда будет делиться на 8 без остатка.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных нечётных чисел $(2n+3)^2 - (2n+1)^2$ может быть представлена в виде $8(n+1)$. Поскольку $n$ — целое число, то выражение $8(n+1)$ всегда делится на 8.