Номер 880, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 880, страница 176.

Условие.

880. Разложите на множители:

а) $2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc;$

б) $12a^2xy^3 - 6axy^5;$

в) $-15am^3n^4 - 20am^4n^6;$

г) $-28b^4c^5y + 16b^5c^6y^8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc$

Для того чтобы разложить данный многочлен на множители, необходимо найти общий множитель для всех его членов и вынести его за скобки. Этот процесс называется вынесением общего множителя за скобки.

1. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов: 2, -3, 4. НОД(2, 3, 4) = 1.

2. Затем найдем общие переменные и их наименьшие степени в каждом члене многочлена.

• Переменная $a$ присутствует во всех членах в степенях $a^1, a^1, a^2$. Наименьшая степень - 1, значит общий множитель содержит $a^1$ или просто $a$.
• Переменная $b$ присутствует во всех членах в степенях $b^1, b^2, b^1$. Наименьшая степень - 1, значит общий множитель содержит $b^1$ или просто $b$.
• Переменная $c$ присутствует во всех членах в степенях $c^2, c^1, c^1$. Наименьшая степень - 1, значит общий множитель содержит $c^1$ или просто $c$.

3. Таким образом, общий буквенный множитель - это произведение этих переменных в наименьших степенях: $abc$.

4. Теперь вынесем общий множитель $abc$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного многочлена на $abc$:

$\frac{2abc^2}{abc} = 2c$

$\frac{-3ab^2c}{abc} = -3b$

$\frac{4a^2bc}{abc} = 4a$

5. Запишем итоговое выражение в виде произведения общего множителя на многочлен, состоящий из результатов деления:

$2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc = abc(2c - 3b + 4a)$

Ответ: $abc(2c - 3b + 4a)$.

б) $12a^2xy^3 - 6axy^5$

Найдем общий множитель для членов $12a^2xy^3$ и $-6axy^5$.

1. НОД коэффициентов 12 и 6 равен 6.

2. Определим общие переменные и их наименьшие степени:

• Для $a$: наименьшая степень из $a^2$ и $a^1$ это $a^1$.
• Для $x$: наименьшая степень из $x^1$ и $x^1$ это $x^1$.
• Для $y$: наименьшая степень из $y^3$ и $y^5$ это $y^3$.

3. Общий множитель равен произведению НОД коэффициентов и общих переменных в наименьших степенях: $6axy^3$.

4. Вынесем $6axy^3$ за скобки:

$12a^2xy^3 - 6axy^5 = 6axy^3 \cdot (\frac{12a^2xy^3}{6axy^3} - \frac{6axy^5}{6axy^3}) = 6axy^3(2a - y^2)$

Ответ: $6axy^3(2a - y^2)$.

в) $-15am^3n^4 - 20am^4n^6$

Найдем общий множитель для членов $-15am^3n^4$ и $-20am^4n^6$.

1. НОД коэффициентов 15 и 20 равен 5. Так как оба члена отрицательные, целесообразно вынести за скобки множитель с отрицательным знаком, то есть -5.

2. Определим общие переменные и их наименьшие степени:

• Для $a$: наименьшая степень из $a^1$ и $a^1$ это $a^1$.
• Для $m$: наименьшая степень из $m^3$ и $m^4$ это $m^3$.
• Для $n$: наименьшая степень из $n^4$ и $n^6$ это $n^4$.

3. Общий множитель: $-5am^3n^4$.

4. Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $-5am^3n^4$:

$-15am^3n^4 - 20am^4n^6 = -5am^3n^4 \cdot (\frac{-15am^3n^4}{-5am^3n^4} + \frac{-20am^4n^6}{-5am^3n^4}) = -5am^3n^4(3 + 4mn^2)$

Ответ: $-5am^3n^4(3 + 4mn^2)$.

г) $-28b^4c^5y + 16b^5c^6y^8$

Найдем общий множитель для членов $-28b^4c^5y$ и $16b^5c^6y^8$.

1. НОД коэффициентов 28 и 16 равен 4.

2. Определим общие переменные и их наименьшие степени:

• Для $b$: наименьшая степень из $b^4$ и $b^5$ это $b^4$.
• Для $c$: наименьшая степень из $c^5$ и $c^6$ это $c^5$.
• Для $y$: наименьшая степень из $y^1$ и $y^8$ это $y^1$.

3. Общий множитель: $4b^4c^5y$.

4. Вынесем его за скобки. Для удобства можно поменять члены местами, чтобы выражение в скобках начиналось с положительного члена:

$16b^5c^6y^8 - 28b^4c^5y = 4b^4c^5y \cdot (\frac{16b^5c^6y^8}{4b^4c^5y} - \frac{28b^4c^5y}{4b^4c^5y}) = 4b^4c^5y(4b^{5-4}c^{6-5}y^{8-1} - 7) = 4b^4c^5y(4bcy^7 - 7)$

Ответ: $4b^4c^5y(4bcy^7 - 7)$.