Страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

620. Упростите выражение:

а) $14y + 2y(6 - y)$;

б) $3y^2 - 2y(5 + 2y)$;

в) $4x(x - 1) - 2(2x^2 - 1)$;

г) $5a(a^2 - 3a) - 3a(a^2 - 5a)$;

д) $7b(4c - b) + 4c(c - 7b)$;

е) $-2y(x^3 - 2y) - (x^3y + 4y^2)$;

ж) $3m^2(m + 5n) - 2n(8m^2 - n)$;

з) $6m^2n^3 - n^2(6m^2n + n - 1)$.

а) $14y + 2y(6 - y)$

Раскроем скобки, умножив $2y$ на каждый член в скобках, используя распределительное свойство умножения:

$2y(6 - y) = 2y \cdot 6 - 2y \cdot y = 12y - 2y^2$

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$14y + 12y - 2y^2$

Приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(14y + 12y) - 2y^2 = 26y - 2y^2$

Ответ: $26y - 2y^2$

б) $3y^2 - 2y(5 + 2y)$

Раскроем скобки, умножив $-2y$ на каждый член в скобках:

$-2y(5 + 2y) = -2y \cdot 5 - 2y \cdot 2y = -10y - 4y^2$

Подставим в исходное выражение:

$3y^2 - 10y - 4y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(3y^2 - 4y^2) - 10y = -y^2 - 10y$

Ответ: $-y^2 - 10y$

в) $4x(x - 1) - 2(2x^2 - 1)$

Раскроем первые и вторые скобки:

$4x(x - 1) = 4x^2 - 4x$

$-2(2x^2 - 1) = -4x^2 + 2$

Сложим полученные выражения:

$4x^2 - 4x - 4x^2 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 4x^2) - 4x + 2 = -4x + 2$

Ответ: $-4x + 2$

г) $5a(a^2 - 3a) - 3a(a^2 - 5a)$

Раскроем скобки в обоих членах выражения:

$5a(a^2 - 3a) = 5a \cdot a^2 - 5a \cdot 3a = 5a^3 - 15a^2$

$-3a(a^2 - 5a) = -3a \cdot a^2 - 3a \cdot (-5a) = -3a^3 + 15a^2$

Сложим результаты:

$5a^3 - 15a^2 - 3a^3 + 15a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(5a^3 - 3a^3) + (-15a^2 + 15a^2) = 2a^3$

Ответ: $2a^3$

д) $7b(4c - b) + 4c(c - 7b)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$7b(4c - b) = 7b \cdot 4c - 7b \cdot b = 28bc - 7b^2$

$4c(c - 7b) = 4c \cdot c - 4c \cdot 7b = 4c^2 - 28bc$

Сложим полученные выражения:

$28bc - 7b^2 + 4c^2 - 28bc$

Приведем подобные слагаемые:

$(28bc - 28bc) - 7b^2 + 4c^2 = -7b^2 + 4c^2$

Для удобства записи можно поменять слагаемые местами:

$4c^2 - 7b^2$

Ответ: $4c^2 - 7b^2$

е) $-2y(x^3 - 2y) - (x^3y + 4y^2)$

Раскроем первые скобки, умножив $-2y$ на каждый член внутри них. Затем раскроем вторые скобки, поменяв знаки у каждого члена внутри них на противоположные:

$-2y \cdot x^3 - 2y \cdot (-2y) - x^3y - 4y^2 = -2x^3y + 4y^2 - x^3y - 4y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(-2x^3y - x^3y) + (4y^2 - 4y^2) = -3x^3y$

Ответ: $-3x^3y$

ж) $3m^2(m + 5n) - 2n(8m^2 - n)$

Раскроем скобки в обоих членах выражения:

$3m^2(m + 5n) = 3m^2 \cdot m + 3m^2 \cdot 5n = 3m^3 + 15m^2n$

$-2n(8m^2 - n) = -2n \cdot 8m^2 - 2n \cdot (-n) = -16m^2n + 2n^2$

Сложим результаты:

$3m^3 + 15m^2n - 16m^2n + 2n^2$

Приведем подобные слагаемые:

$3m^3 + (15m^2n - 16m^2n) + 2n^2 = 3m^3 - m^2n + 2n^2$

Ответ: $3m^3 - m^2n + 2n^2$

з) $6m^2n^3 - n^2(6m^2n + n - 1)$

Раскроем скобки, умножив $-n^2$ на каждый член в скобках:

$-n^2(6m^2n + n - 1) = -n^2 \cdot 6m^2n - n^2 \cdot n - n^2 \cdot (-1) = -6m^2n^3 - n^3 + n^2$

Подставим в исходное выражение:

$6m^2n^3 - 6m^2n^3 - n^3 + n^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(6m^2n^3 - 6m^2n^3) - n^3 + n^2 = -n^3 + n^2$

Запишем в порядке возрастания степеней:

$n^2 - n^3$

Ответ: $n^2 - n^3$

623. Вычислите значение выражения:

а) $5x(2x - 6) - 2,5x(4x - 2)$ при $x = -8$; $10$;

б) $5a(a - 4b) - 4b(b - 5a)$ при $a = -0,6$ и $b = -0,5$.

а)

Для начала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$5x(2x - 6) - 2,5x(4x - 2) = (5x \cdot 2x - 5x \cdot 6) - (2,5x \cdot 4x - 2,5x \cdot 2) = 10x^2 - 30x - (10x^2 - 5x)$
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:
$10x^2 - 30x - 10x^2 + 5x$
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(10x^2 - 10x^2) + (-30x + 5x) = 0 - 25x = -25x$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданные значения x.
1. При $x = -8$:
$-25x = -25 \cdot (-8) = 200$
2. При $x = 10$:
$-25x = -25 \cdot 10 = -250$

Ответ: 200; -250.

б)

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$5a(a - 4b) - 4b(b - 5a) = (5a \cdot a - 5a \cdot 4b) - (4b \cdot b - 4b \cdot 5a) = 5a^2 - 20ab - (4b^2 - 20ab)$
Раскроем скобки:
$5a^2 - 20ab - 4b^2 + 20ab$
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$5a^2 - 4b^2 + (-20ab + 20ab) = 5a^2 - 4b^2$

Теперь подставим значения $a = -0,6$ и $b = -0,5$ в упрощенное выражение.
$5a^2 - 4b^2 = 5 \cdot (-0,6)^2 - 4 \cdot (-0,5)^2$
Возведем числа в квадрат:
$(-0,6)^2 = 0,36$
$(-0,5)^2 = 0,25$
Подставим полученные значения обратно в выражение и выполним вычисления:
$5 \cdot 0,36 - 4 \cdot 0,25 = 1,8 - 1 = 0,8$

Ответ: 0,8.

626. Докажите, что выражение $x(2x+1) - x^2(x+2) + (x^3-x+3)$ при любом значении $x$ принимает одно и то же значение.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает одно и то же значение при любом значении $x$, необходимо его упростить. Для этого раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые.

Рассмотрим выражение: $x(2x + 1) - x^2(x + 2) + (x^3 - x + 3)$.

1. Раскроем скобки.

Первый член, $x(2x + 1)$, раскладывается как $x \cdot 2x + x \cdot 1 = 2x^2 + x$.

Второй член, $-x^2(x + 2)$, раскладывается как $-x^2 \cdot x - x^2 \cdot 2 = -x^3 - 2x^2$.

Третий член — это многочлен в скобках, которые можно просто убрать: $x^3 - x + 3$.

2. Запишем выражение после раскрытия скобок.

$2x^2 + x - x^3 - 2x^2 + x^3 - x + 3$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $x$:

$(-x^3 + x^3) + (2x^2 - 2x^2) + (x - x) + 3$

4. Выполним вычисления в каждой группе.

$-x^3 + x^3 = 0$

$2x^2 - 2x^2 = 0$

$x - x = 0$

В результате сложения получаем: $0 + 0 + 0 + 3 = 3$.

Так как после всех преобразований переменная $x$ сократилась и осталось только число 3, это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от $x$ и всегда равно 3.

Ответ: значение выражения при любом $x$ равно 3.

629. Докажите, что выражение $2x(x - 6) - 3(x^2 - 4x + 1)$ при любых значениях x принимает отрицательные значения.

Для того чтобы доказать, что выражение $2x(x - 6) - 3(x^2 - 4x + 1)$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, необходимо сначала упростить это выражение.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим одночлены на многочлены:

$2x(x - 6) = 2x \cdot x - 2x \cdot 6 = 2x^2 - 12x$

$-3(x^2 - 4x + 1) = -3 \cdot x^2 - 3 \cdot (-4x) - 3 \cdot 1 = -3x^2 + 12x - 3$

2. Сложим полученные выражения:

$(2x^2 - 12x) + (-3x^2 + 12x - 3) = 2x^2 - 12x - 3x^2 + 12x - 3$

3. Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 3x^2) + (-12x + 12x) - 3 = -x^2 + 0 - 3 = -x^2 - 3$

4. Проанализируем полученное выражение $-x^2 - 3$.

Выражение $x^2$ при любом действительном значении $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.

Соответственно, выражение $-x^2$ будет всегда неположительным (равным нулю или отрицательным), то есть $-x^2 \le 0$.

Если из неположительного числа ($-x^2$) вычесть положительное число 3, результат всегда будет отрицательным. Максимальное значение выражения $-x^2 - 3$ достигается при $x=0$, когда $-x^2=0$. В этом случае значение выражения равно $0 - 3 = -3$.

Таким образом, для любого значения $x$ выполняется неравенство $-x^2 - 3 \le -3$, что означает, что значение выражения всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $-x^2 - 3$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любых $x$, то $-x^2 \le 0$, и, следовательно, выражение $-x^2 - 3$ всегда меньше или равно $-3$, то есть всегда отрицательно.

621. Представьте в виде многочлена:

а) $6x(x-3)-x(2-x)$;

б) $-a^2(3a-5)+4a(a^2-a)$;

в) $ax(2x-3a)-x(ax+5a^2)$;

г) $-4m^2(n^2-m^2)+3n^2(m^2-n^2)$.

а) $6x(x - 3) - x(2 - x)$

Для того чтобы представить данное выражение в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки, используя распределительное свойство умножения, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки, умножив $6x$ на каждый член в скобках $(x - 3)$:
$6x \cdot x - 6x \cdot 3 = 6x^2 - 18x$

2. Раскроем вторые скобки, умножив $-x$ на каждый член в скобках $(2 - x)$:
$-x \cdot 2 - x \cdot (-x) = -2x + x^2$

3. Сложим полученные выражения:
$(6x^2 - 18x) + (-2x + x^2) = 6x^2 - 18x - 2x + x^2$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6x^2 + x^2) + (-18x - 2x) = 7x^2 - 20x$

Ответ: $7x^2 - 20x$

б) $-a^2(3a - 5) + 4a(a^2 - a)$

Раскроем скобки, умножая одночлен на многочлен, а затем приведем подобные слагаемые.

1. Умножим $-a^2$ на многочлен $(3a - 5)$:
$-a^2 \cdot 3a - a^2 \cdot (-5) = -3a^3 + 5a^2$

2. Умножим $4a$ на многочлен $(a^2 - a)$:
$4a \cdot a^2 + 4a \cdot (-a) = 4a^3 - 4a^2$

3. Сложим результаты:
$(-3a^3 + 5a^2) + (4a^3 - 4a^2) = -3a^3 + 5a^2 + 4a^3 - 4a^2$

4. Сгруппируем и сложим подобные члены:
$(-3a^3 + 4a^3) + (5a^2 - 4a^2) = a^3 + a^2$

Ответ: $a^3 + a^2$

в) $ax(2x - 3a) - x(ax + 5a^2)$

Выполним умножение одночленов на многочлены в скобках и упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки:
$ax \cdot 2x - ax \cdot 3a = 2ax^2 - 3a^2x$

2. Раскроем вторые скобки:
$-x \cdot ax - x \cdot 5a^2 = -ax^2 - 5a^2x$

3. Сложим полученные многочлены:
$2ax^2 - 3a^2x - ax^2 - 5a^2x$

4. Приведем подобные слагаемые, группируя члены с одинаковыми переменными и степенями:
$(2ax^2 - ax^2) + (-3a^2x - 5a^2x) = ax^2 - 8a^2x$

Ответ: $ax^2 - 8a^2x$

г) $-4m^2(n^2 - m^2) + 3n^2(m^2 - n^2)$

Чтобы преобразовать выражение в многочлен, раскроем скобки и приведем подобные члены.

1. Раскроем первые скобки:
$-4m^2 \cdot n^2 - 4m^2 \cdot (-m^2) = -4m^2n^2 + 4m^4$

2. Раскроем вторые скобки:
$3n^2 \cdot m^2 + 3n^2 \cdot (-n^2) = 3m^2n^2 - 3n^4$

3. Сложим результаты:
$-4m^2n^2 + 4m^4 + 3m^2n^2 - 3n^4$

4. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$4m^4 - 3n^4 + (-4m^2n^2 + 3m^2n^2) = 4m^4 - 3n^4 - m^2n^2$

Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $m$:
$4m^4 - m^2n^2 - 3n^4$

Ответ: $4m^4 - m^2n^2 - 3n^4$

624. Упростите выражение:

а) $(3a^2)^2 - a^3(1 - 5a);$

б) $(-\frac{1}{2}b)^3 - b(1 - 2b - \frac{1}{8}b^2);$

в) $x(16x - 2x^3) - (2x^2)^2;$

г) $(0,2c^3)^2 - 0,01c^4(4c^2 - 100).$

а) $(3a^2)^2 - a^3(1 - 5a)$

1. Выполним возведение в степень первого одночлена:
$(3a^2)^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 = 9a^4$.

2. Раскроем скобки, умножив $-a^3$ на многочлен $(1 - 5a)$:
$-a^3(1 - 5a) = -a^3 \cdot 1 - a^3 \cdot (-5a) = -a^3 + 5a^4$.

3. Объединим полученные выражения:
$9a^4 - a^3 + 5a^4$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$(9a^4 + 5a^4) - a^3 = 14a^4 - a^3$.

Ответ: $14a^4 - a^3$

б) $(-\frac{1}{2}b)^3 - b(1 - 2b - \frac{1}{8}b^2)$

1. Выполним возведение в степень:
$(-\frac{1}{2}b)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot b^3 = -\frac{1}{8}b^3$.

2. Раскроем скобки, умножив $-b$ на многочлен в скобках:
$-b(1 - 2b - \frac{1}{8}b^2) = -b \cdot 1 - b \cdot (-2b) - b \cdot (-\frac{1}{8}b^2) = -b + 2b^2 + \frac{1}{8}b^3$.

3. Объединим полученные выражения:
$-\frac{1}{8}b^3 - b + 2b^2 + \frac{1}{8}b^3$.

4. Приведем подобные слагаемые. Члены с $b^3$ взаимно уничтожаются:
$(-\frac{1}{8}b^3 + \frac{1}{8}b^3) + 2b^2 - b = 2b^2 - b$.

Ответ: $2b^2 - b$

в) $x(16x - 2x^3) - (2x^2)^2$

1. Раскроем скобки в первом члене:
$x(16x - 2x^3) = 16x^2 - 2x^4$.

2. Возведем в степень второй член:
$(2x^2)^2 = 2^2 \cdot (x^2)^2 = 4x^4$.

3. Запишем выражение с раскрытыми скобками:
$16x^2 - 2x^4 - 4x^4$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$16x^2 - (2x^4 + 4x^4) = 16x^2 - 6x^4$.

Ответ: $16x^2 - 6x^4$

г) $(0,2c^3)^2 - 0,01c^4(4c^2 - 100)$

1. Возведем в степень первый член:
$(0,2c^3)^2 = 0,2^2 \cdot (c^3)^2 = 0,04c^6$.

2. Раскроем скобки:
$-0,01c^4(4c^2 - 100) = -0,01c^4 \cdot 4c^2 - 0,01c^4 \cdot (-100) = -0,04c^6 + c^4$.

3. Объединим полученные выражения:
$0,04c^6 - 0,04c^6 + c^4$.

4. Приведем подобные слагаемые. Члены с $c^6$ взаимно уничтожаются:
$(0,04c^6 - 0,04c^6) + c^4 = c^4$.

Ответ: $c^4$

627. Докажите, что значение выражения

$y(3y^2 - y + 5) - (2y^3 + 3y - 16) - y(y^2 - y + 2)$

не зависит от $y$.

Чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от переменной $y$, необходимо его упростить. Если в результате упрощения мы получим число (константу), то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $y(3y^2 - y + 5) - (2y^3 + 3y - 16) - y(y^2 - y + 2)$

1. Раскроем скобки в выражении. Для этого умножим одночлены на многочлены и сменим знаки у слагаемых во второй скобке, так как перед ней стоит знак минус.

$(y \cdot 3y^2 - y \cdot y + y \cdot 5) - 2y^3 - 3y + 16 + (-y \cdot y^2 - y \cdot (-y) - y \cdot 2)$

Выполнив умножение, получим:

$3y^3 - y^2 + 5y - 2y^3 - 3y + 16 - y^3 + y^2 - 2y$

2. Сгруппируем и приведём подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой переменной частью).

$(3y^3 - 2y^3 - y^3) + (-y^2 + y^2) + (5y - 3y - 2y) + 16$

3. Выполним вычисления в каждой группе.

$(3-2-1)y^3 + (-1+1)y^2 + (5-3-2)y + 16$

$0 \cdot y^3 + 0 \cdot y^2 + 0 \cdot y + 16$

$0 + 0 + 0 + 16 = 16$

В результате упрощения выражения получилось число 16, которое не содержит переменную $y$. Это означает, что значение исходного выражения всегда равно 16, независимо от того, какое значение принимает $y$. Утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения равно 16 при любом значении $y$, следовательно, оно не зависит от $y$.

630. Решите уравнение:

а) $5x + 3(x - 1) = 6x + 11;$

б) $3x - 5(2 - x) = 54;$

в) $8(y - 7) - 3(2y + 9) = 15;$

г) $0,6 - 0,5(y - 1) = y + 0,5;$

д) $6 + (2 - 4x) + 5 = 3(1 - 3x);$

е) $0,5(2y - 1) - (0,5 - 0,2y) + 1 = 0;$

ж) $0,15(x - 4) = 9,9 - 0,3(x - 1);$

з) $3(3x - 1) + 2 = 5(1 - 2x) - 1.$

а) $5x+3(x-1)=6x+11$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения: $5x + 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = 6x + 11$, что дает $5x+3x-3=6x+11$.

Приведем подобные слагаемые в левой части: $(5+3)x-3=6x+11$, то есть $8x-3=6x+11$.

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе: $8x-6x=11+3$.

Упростим обе части уравнения: $2x=14$.

Найдем $x$, разделив обе части на 2: $x = \frac{14}{2}$.

$x=7$.

Ответ: 7.

б) $3x-5(2-x)=54$

Раскроем скобки в левой части: $3x - 5 \cdot 2 - 5 \cdot (-x) = 54$, что дает $3x-10+5x=54$.

Приведем подобные слагаемые в левой части: $(3+5)x-10=54$, то есть $8x-10=54$.

Перенесем числовое слагаемое в правую часть: $8x=54+10$.

Упростим правую часть: $8x=64$.

Найдем $x$, разделив обе части на 8: $x = \frac{64}{8}$.

$x=8$.

Ответ: 8.

в) $8(y-7)-3(2y+9)=15$

Раскроем скобки: $8y - 8 \cdot 7 - 3 \cdot 2y - 3 \cdot 9 = 15$, что дает $8y-56-6y-27=15$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части: $(8y-6y) + (-56-27) = 15$, то есть $2y-83=15$.

Перенесем числовое слагаемое в правую часть: $2y=15+83$.

Упростим правую часть: $2y=98$.

Найдем $y$, разделив обе части на 2: $y = \frac{98}{2}$.

$y=49$.

Ответ: 49.

г) $0,6-0,5(y-1)=y+0,5$

Раскроем скобки: $0,6 - 0,5y + 0,5 = y+0,5$.

Приведем подобные слагаемые в левой части: $1,1-0,5y=y+0,5$.

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а числа — в левую: $1,1-0,5 = y+0,5y$.

Упростим обе части: $0,6=1,5y$.

Чтобы найти $y$, разделим 0,6 на 1,5: $y = \frac{0,6}{1,5}$. Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10: $y = \frac{6}{15}$.

Сократим дробь на 3: $y = \frac{2}{5}$.

$y=0,4$.

Ответ: 0,4.

д) $6+(2-4x)+5=3(1-3x)$

Раскроем скобки в обеих частях: $6+2-4x+5=3-9x$.

Приведем подобные слагаемые в левой части: $(6+2+5) - 4x = 3-9x$, то есть $13-4x=3-9x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую: $-4x+9x=3-13$.

Упростим обе части: $5x=-10$.

Найдем $x$, разделив обе части на 5: $x = \frac{-10}{5}$.

$x=-2$.

Ответ: -2.

е) $0,5(2y-1)-(0,5-0,2y)+1=0$

Раскроем скобки: $0,5 \cdot 2y - 0,5 \cdot 1 - 0,5 + 0,2y + 1 = 0$, что дает $y-0,5-0,5+0,2y+1=0$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(y+0,2y) + (-0,5-0,5+1) = 0$.

Упростим: $1,2y+0=0$.

$1,2y=0$.

Найдем $y$: $y = \frac{0}{1,2}$.

$y=0$.

Ответ: 0.

ж) $0,15(x-4)=9,9-0,3(x-1)$

Раскроем скобки в обеих частях: $0,15x - 0,15 \cdot 4 = 9,9 - 0,3x + 0,3 \cdot 1$, что дает $0,15x-0,6=9,9-0,3x+0,3$.

Приведем подобные слагаемые в правой части: $0,15x-0,6=10,2-0,3x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую: $0,15x+0,3x=10,2+0,6$.

Упростим обе части: $0,45x=10,8$.

Найдем $x$: $x = \frac{10,8}{0,45}$. Умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от дробей: $x=\frac{1080}{45}$.

Выполним деление: $x=24$.

Ответ: 24.

з) $3(3x-1)+2=5(1-2x)-1$

Раскроем скобки в обеих частях: $9x-3+2=5-10x-1$.

Приведем подобные слагаемые в обеих частях: $9x-1=4-10x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую: $9x+10x=4+1$.

Упростим обе части: $19x=5$.

Найдем $x$: $x = \frac{5}{19}$.

Ответ: $\frac{5}{19}$.

622. Найдите значение выражения:

а) $-2x (x^2 - x + 3) + x (2x^2 + x - 5)$ при $x = 3$; $-3$;

б) $x(x - y) - y(y^2 - x)$ при $x = 4$ и $y = 2$.

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$-2x(x^2 - x + 3) + x(2x^2 + x - 5) = (-2x \cdot x^2 - 2x \cdot (-x) - 2x \cdot 3) + (x \cdot 2x^2 + x \cdot x + x \cdot (-5))$
$= -2x^3 + 2x^2 - 6x + 2x^3 + x^2 - 5x$
Сгруппируем подобные члены:
$(-2x^3 + 2x^3) + (2x^2 + x^2) + (-6x - 5x) = 0 + 3x^2 - 11x = 3x^2 - 11x$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значения $x$.
При $x = 3$:
$3x^2 - 11x = 3 \cdot (3)^2 - 11 \cdot 3 = 3 \cdot 9 - 33 = 27 - 33 = -6$

При $x = -3$:
$3x^2 - 11x = 3 \cdot (-3)^2 - 11 \cdot (-3) = 3 \cdot 9 + 33 = 27 + 33 = 60$
Ответ: -6; 60.

б)

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:
$x(x - y) - y(y^2 - x) = x \cdot x - x \cdot y - y \cdot y^2 - y \cdot (-x) = x^2 - xy - y^3 + xy$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - y^3 + (-xy + xy) = x^2 - y^3$

Теперь подставим значения $x = 4$ и $y = 2$ в упрощенное выражение:
$x^2 - y^3 = 4^2 - 2^3 = 16 - 8 = 8$
Ответ: 8.

625. С помощью рисунка 67 разъясните геометрический смысл формулы $a(b + c) = ab + ac$ для положительных значений $a$, $b$ и $c$.

Рис. 67

Формула $a(b+c) = ab + ac$ является алгебраической записью распределительного свойства умножения относительно сложения. Геометрический смысл этой формулы можно продемонстрировать с помощью площадей прямоугольников, как показано на рисунке 67.

1. Площадь большого прямоугольника. Рассмотрим всю фигуру как один большой прямоугольник. Его высота равна $a$. Его ширина состоит из двух отрезков $b$ и $c$, поэтому общая ширина равна $b+c$. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. Следовательно, площадь всей фигуры равна: $S_{общая} = a \cdot (b+c)$. Это выражение соответствует левой части формулы.

2. Сумма площадей малых прямоугольников. Тот же самый большой прямоугольник состоит из двух меньших прямоугольников:

• Площадь левого (оранжевого) прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $S_1 = ab$.
• Площадь правого (серого) прямоугольника со сторонами $a$ и $c$ равна $S_2 = ac$.

Общая площадь фигуры может быть найдена как сумма площадей этих двух частей: $S_{общая} = S_1 + S_2 = ab + ac$. Это выражение соответствует правой части формулы.

Поскольку мы вычисляли площадь одной и той же фигуры двумя разными способами, полученные выражения должны быть равны. Таким образом, мы можем приравнять их: $a(b+c) = ab + ac$.

Ответ: Геометрический смысл формулы $a(b+c) = ab + ac$ для положительных $a, b$ и $c$ заключается в том, что площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $(b+c)$ равна сумме площадей двух прямоугольников: одного со сторонами $a$ и $b$, и другого со сторонами $a$ и $c$.

628. Докажите, что выражение тождественно равно нулю:

а) $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b);$

б) $a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a).$

a) Чтобы доказать, что выражение $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)$ тождественно равно нулю, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала раскроем все скобки, используя распределительный закон умножения:

$a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется (т.е. $ba = ab$, $ca = ac$ и $cb = bc$), получаем:

$(ab - ba) + (bc - cb) + (ca - ac) = (ab - ab) + (bc - bc) + (ac - ac)$

Выполним вычитание в каждой из скобок:

$0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, исходное выражение действительно тождественно равно нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.

б) Чтобы доказать, что выражение $a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a)$ тождественно равно нулю, также раскроем скобки и упростим.

Раскрываем скобки в каждом слагаемом:

$a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a) = (ab + ac - abc) - (bc + ba - bac) + (cb - ca)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак минус, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:

$ab + ac - abc - bc - ba + bac + cb - ca$

Сгруппируем подобные слагаемые, используя коммутативность умножения ($ba=ab$, $bac=abc$, $ca=ac$, $cb=bc$):

$(ab - ba) + (ac - ca) + (-abc + bac) + (-bc + cb)$

Это равносильно следующему выражению:

$(ab - ab) + (ac - ac) + (-abc + abc) + (-bc + bc)$

Сумма в каждой из скобок равна нулю:

$0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Следовательно, данное выражение тождественно равно нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.