Номер 628, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Умножение одночлена на многочлен. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 628, страница 137.

Условие.

628. Докажите, что выражение тождественно равно нулю:

а) $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b);$

б) $a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Чтобы доказать, что выражение $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)$ тождественно равно нулю, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала раскроем все скобки, используя распределительный закон умножения:

$a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется (т.е. $ba = ab$, $ca = ac$ и $cb = bc$), получаем:

$(ab - ba) + (bc - cb) + (ca - ac) = (ab - ab) + (bc - bc) + (ac - ac)$

Выполним вычитание в каждой из скобок:

$0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, исходное выражение действительно тождественно равно нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.

б) Чтобы доказать, что выражение $a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a)$ тождественно равно нулю, также раскроем скобки и упростим.

Раскрываем скобки в каждом слагаемом:

$a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a) = (ab + ac - abc) - (bc + ba - bac) + (cb - ca)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак минус, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:

$ab + ac - abc - bc - ba + bac + cb - ca$

Сгруппируем подобные слагаемые, используя коммутативность умножения ($ba=ab$, $bac=abc$, $ca=ac$, $cb=bc$):

$(ab - ba) + (ac - ca) + (-abc + bac) + (-bc + cb)$

Это равносильно следующему выражению:

$(ab - ab) + (ac - ac) + (-abc + abc) + (-bc + bc)$

Сумма в каждой из скобок равна нулю:

$0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Следовательно, данное выражение тождественно равно нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.