Номер 626, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Умножение одночлена на многочлен. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 626, страница 137.

Условие.

626. Докажите, что выражение $x(2x+1) - x^2(x+2) + (x^3-x+3)$ при любом значении $x$ принимает одно и то же значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает одно и то же значение при любом значении $x$, необходимо его упростить. Для этого раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые.

Рассмотрим выражение: $x(2x + 1) - x^2(x + 2) + (x^3 - x + 3)$.

1. Раскроем скобки.

Первый член, $x(2x + 1)$, раскладывается как $x \cdot 2x + x \cdot 1 = 2x^2 + x$.

Второй член, $-x^2(x + 2)$, раскладывается как $-x^2 \cdot x - x^2 \cdot 2 = -x^3 - 2x^2$.

Третий член — это многочлен в скобках, которые можно просто убрать: $x^3 - x + 3$.

2. Запишем выражение после раскрытия скобок.

$2x^2 + x - x^3 - 2x^2 + x^3 - x + 3$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $x$:

$(-x^3 + x^3) + (2x^2 - 2x^2) + (x - x) + 3$

4. Выполним вычисления в каждой группе.

$-x^3 + x^3 = 0$

$2x^2 - 2x^2 = 0$

$x - x = 0$

В результате сложения получаем: $0 + 0 + 0 + 3 = 3$.

Так как после всех преобразований переменная $x$ сократилась и осталось только число 3, это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от $x$ и всегда равно 3.

Ответ: значение выражения при любом $x$ равно 3.