Номер 629, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Умножение одночлена на многочлен. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 629, страница 137.

Условие.

629. Докажите, что выражение $2x(x - 6) - 3(x^2 - 4x + 1)$ при любых значениях x принимает отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что выражение $2x(x - 6) - 3(x^2 - 4x + 1)$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, необходимо сначала упростить это выражение.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим одночлены на многочлены:

$2x(x - 6) = 2x \cdot x - 2x \cdot 6 = 2x^2 - 12x$

$-3(x^2 - 4x + 1) = -3 \cdot x^2 - 3 \cdot (-4x) - 3 \cdot 1 = -3x^2 + 12x - 3$

2. Сложим полученные выражения:

$(2x^2 - 12x) + (-3x^2 + 12x - 3) = 2x^2 - 12x - 3x^2 + 12x - 3$

3. Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 3x^2) + (-12x + 12x) - 3 = -x^2 + 0 - 3 = -x^2 - 3$

4. Проанализируем полученное выражение $-x^2 - 3$.

Выражение $x^2$ при любом действительном значении $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.

Соответственно, выражение $-x^2$ будет всегда неположительным (равным нулю или отрицательным), то есть $-x^2 \le 0$.

Если из неположительного числа ($-x^2$) вычесть положительное число 3, результат всегда будет отрицательным. Максимальное значение выражения $-x^2 - 3$ достигается при $x=0$, когда $-x^2=0$. В этом случае значение выражения равно $0 - 3 = -3$.

Таким образом, для любого значения $x$ выполняется неравенство $-x^2 - 3 \le -3$, что означает, что значение выражения всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $-x^2 - 3$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любых $x$, то $-x^2 \le 0$, и, следовательно, выражение $-x^2 - 3$ всегда меньше или равно $-3$, то есть всегда отрицательно.