Номер 491, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Функции y=x^2 и y=x^3 и их графики. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 491, страница 117.

Условие.

491. В одной и той же системе координат постройте графики функций $y = x^2$ и $y = x^3$, где $x \ge 0$. Пользуясь построенными графиками, сравните:

а) $0,6^2$ и $0,6^3$;

б) $1,5^2$ и $1,5^3$;

в) $2,7^2$ и $2,7^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи сначала построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ (правая ветвь параболы) и $y = x^3$ (правая ветвь кубической параболы) для $x \ge 0$.

Для построения найдем несколько точек для каждого графика:

Таблица значений для $y = x^2$:

$x$	0	0.5	1	1.5	2
$y = x^2$	0	0.25	1	2.25	4

Таблица значений для $y = x^3$:

$x$	0	0.5	1	1.5	2
$y = x^3$	0	0.125	1	3.375	8

Найдем точки пересечения графиков. для этого приравняем функции:

$x^2 = x^3$

$x^3 - x^2 = 0$

$x^2(x - 1) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=1$. Таким образом, графики пересекаются в точках $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Анализируя графики и таблицы значений, можно сделать вывод о их взаимном расположении:

• На интервале $x \in (0; 1)$ график функции $y = x^2$ находится выше графика $y = x^3$. Это значит, что для этих $x$ выполняется неравенство $x^2 > x^3$.
• На интервале $x \in (1; +\infty)$ график функции $y = x^3$ находится выше графика $y = x^2$. Это значит, что для этих $x$ выполняется неравенство $x^3 > x^2$.

Теперь, пользуясь построенными графиками (и выводами из их анализа), сравним числа.

а) Сравнить $0,6^2$ и $0,6^3$.

Это эквивалентно сравнению значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, мы находимся в области, где график $y=x^2$ выше графика $y=x^3$. Следовательно, $0,6^2 > 0,6^3$.

Ответ: $0,6^2 > 0,6^3$.

б) Сравнить $1,5^2$ и $1,5^3$.

Это эквивалентно сравнению значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=1,5$. Так как $1,5 > 1$, мы находимся в области, где график $y=x^3$ выше графика $y=x^2$. Следовательно, $1,5^2 < 1,5^3$.

Ответ: $1,5^2 < 1,5^3$.

в) Сравнить $2,7^2$ и $2,7^3$.

Это эквивалентно сравнению значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=2,7$. Так как $2,7 > 1$, мы находимся в области, где график $y=x^3$ выше графика $y=x^2$. Следовательно, $2,7^2 < 2,7^3$.

Ответ: $2,7^2 < 2,7^3$.