Номер 615, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Умножение одночлена на многочлен. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 615, страница 136.

Условие.

615. Преобразуйте произведение в многочлен:

а) $3ab(a^2 - 2ab + b^2)$;

б) $-x^2y(x^2y^2 - x^2 - y^2)$;

в) $2,5a^2b(4a^2 - 2ab + 0,2b^2)$;

г) $(-2ax^2 + 3ax - a^2)(-a^2x^2)$;

д) $(6,3x^3y - 3y^2 - 0,7x) \cdot 10x^2y^2$;

е) $-1,4p^2q^6(5p^3q - 1,5pq^2 - 2q^3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы преобразовать произведение одночлена на многочлен в многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Это называется распределительным свойством умножения.
Применим это правило к выражению $3ab(a^2 - 2ab + b^2)$:
$3ab(a^2 - 2ab + b^2) = 3ab \cdot a^2 + 3ab \cdot (-2ab) + 3ab \cdot b^2$
Выполним умножение одночленов. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.
$3ab \cdot a^2 = 3a^{1+2}b = 3a^3b$
$3ab \cdot (-2ab) = (3 \cdot -2)a^{1+1}b^{1+1} = -6a^2b^2$
$3ab \cdot b^2 = 3ab^{1+2} = 3ab^3$
Сложим полученные одночлены:
$3a^3b - 6a^2b^2 + 3ab^3$
Ответ: $3a^3b - 6a^2b^2 + 3ab^3$.

б) Умножим одночлен $-x^2y$ на каждый член многочлена $(x^2y^2 - x^2 - y^2)$.
$-x^2y(x^2y^2 - x^2 - y^2) = (-x^2y) \cdot (x^2y^2) + (-x^2y) \cdot (-x^2) + (-x^2y) \cdot (-y^2)$
Выполним умножение:
$(-x^2y) \cdot (x^2y^2) = -x^{2+2}y^{1+2} = -x^4y^3$
$(-x^2y) \cdot (-x^2) = (-1 \cdot -1)x^{2+2}y = x^4y$
$(-x^2y) \cdot (-y^2) = (-1 \cdot -1)x^2y^{1+2} = x^2y^3$
Результатом является многочлен:
$-x^4y^3 + x^4y + x^2y^3$
Ответ: $-x^4y^3 + x^4y + x^2y^3$.

в) Умножим одночлен $2.5a^2b$ на каждый член многочлена $(4a^2 - 2ab + 0.2b^2)$.
$2.5a^2b(4a^2 - 2ab + 0.2b^2) = 2.5a^2b \cdot 4a^2 + 2.5a^2b \cdot (-2ab) + 2.5a^2b \cdot 0.2b^2$
Выполним вычисления:
$2.5a^2b \cdot 4a^2 = (2.5 \cdot 4)a^{2+2}b = 10a^4b$
$2.5a^2b \cdot (-2ab) = (2.5 \cdot -2)a^{2+1}b^{1+1} = -5a^3b^2$
$2.5a^2b \cdot 0.2b^2 = (2.5 \cdot 0.2)a^2b^{1+2} = 0.5a^2b^3$
Итоговый многочлен:
$10a^4b - 5a^3b^2 + 0.5a^2b^3$
Ответ: $10a^4b - 5a^3b^2 + 0.5a^2b^3$.

г) В данном случае одночлен стоит после многочлена, но правило остается тем же. Умножим каждый член многочлена $(-2ax^2 + 3ax - a^2)$ на одночлен $(-a^2x^2)$.
$(-2ax^2 + 3ax - a^2)(-a^2x^2) = (-2ax^2) \cdot (-a^2x^2) + (3ax) \cdot (-a^2x^2) + (-a^2) \cdot (-a^2x^2)$
Выполним умножение одночленов:
$(-2ax^2) \cdot (-a^2x^2) = (-2 \cdot -1)a^{1+2}x^{2+2} = 2a^3x^4$
$(3ax) \cdot (-a^2x^2) = (3 \cdot -1)a^{1+2}x^{1+2} = -3a^3x^3$
$(-a^2) \cdot (-a^2x^2) = (-1 \cdot -1)a^{2+2}x^2 = a^4x^2$
Полученный многочлен:
$2a^3x^4 - 3a^3x^3 + a^4x^2$
Ответ: $2a^3x^4 - 3a^3x^3 + a^4x^2$.

д) Умножим каждый член многочлена $(6.3x^3y - 3y^2 - 0.7x)$ на одночлен $10x^2y^2$.
$(6.3x^3y - 3y^2 - 0.7x) \cdot 10x^2y^2 = (6.3x^3y) \cdot (10x^2y^2) + (-3y^2) \cdot (10x^2y^2) + (-0.7x) \cdot (10x^2y^2)$
Выполним вычисления:
$(6.3x^3y) \cdot (10x^2y^2) = (6.3 \cdot 10)x^{3+2}y^{1+2} = 63x^5y^3$
$(-3y^2) \cdot (10x^2y^2) = (-3 \cdot 10)x^2y^{2+2} = -30x^2y^4$
$(-0.7x) \cdot (10x^2y^2) = (-0.7 \cdot 10)x^{1+2}y^2 = -7x^3y^2$
Результат: $63x^5y^3 - 30x^2y^4 - 7x^3y^2$. Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степени переменной $x$:
$63x^5y^3 - 7x^3y^2 - 30x^2y^4$
Ответ: $63x^5y^3 - 7x^3y^2 - 30x^2y^4$.

е) Умножим одночлен $-1.4p^2q^6$ на каждый член многочлена $(5p^3q - 1.5pq^2 - 2q^3)$.
$-1.4p^2q^6(5p^3q - 1.5pq^2 - 2q^3) = (-1.4p^2q^6) \cdot (5p^3q) + (-1.4p^2q^6) \cdot (-1.5pq^2) + (-1.4p^2q^6) \cdot (-2q^3)$
Выполним умножение:
$(-1.4p^2q^6) \cdot (5p^3q) = (-1.4 \cdot 5)p^{2+3}q^{6+1} = -7p^5q^7$
$(-1.4p^2q^6) \cdot (-1.5pq^2) = (-1.4 \cdot -1.5)p^{2+1}q^{6+2} = 2.1p^3q^8$
$(-1.4p^2q^6) \cdot (-2q^3) = (-1.4 \cdot -2)p^2q^{6+3} = 2.8p^2q^9$
Итоговый многочлен:
$-7p^5q^7 + 2.1p^3q^8 + 2.8p^2q^9$
Ответ: $-7p^5q^7 + 2.1p^3q^8 + 2.8p^2q^9$.