Номер 617, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Умножение одночлена на многочлен. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 617, страница 136.

Условие.

617. Выполните умножение:

а) $ -3x^2(-x^3 + x - 5); $

б) $ (1 + 2a - a^2) \cdot 5a; $

в) $ \frac{2}{3} x^2y (15x - 0,9y + 6); $

г) $ 3a^4x (a^2 - 2ax + x^3 - 1); $

д) $ (x^2y - xy + xy^2 + y^3) \cdot 3xy^2; $

е) $ -\frac{3}{7} a^4 (2,1b^2 - 0,7a + 35). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить (алгебраически).

$-3x^2(-x^3 + x - 5) = (-3x^2) \cdot (-x^3) + (-3x^2) \cdot x + (-3x^2) \cdot (-5)$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Выполним умножение для каждого члена:

$(-3x^2) \cdot (-x^3) = (-3) \cdot (-1) \cdot x^{2+3} = 3x^5$

$(-3x^2) \cdot x = (-3) \cdot 1 \cdot x^{2+1} = -3x^3$

$(-3x^2) \cdot (-5) = (-3) \cdot (-5) \cdot x^2 = 15x^2$

Сложим полученные одночлены:

$3x^5 - 3x^3 + 15x^2$

Ответ: $3x^5 - 3x^3 + 15x^2$

б) В данном случае множитель стоит после скобок, но правило остается тем же: каждый член многочлена в скобках умножается на одночлен $5a$.

$(1 + 2a - a^2) \cdot 5a = 1 \cdot 5a + 2a \cdot 5a + (-a^2) \cdot 5a$

Выполним умножение для каждого члена:

$1 \cdot 5a = 5a$

$2a \cdot 5a = (2 \cdot 5) \cdot a^{1+1} = 10a^2$

$(-a^2) \cdot 5a = (-1 \cdot 5) \cdot a^{2+1} = -5a^3$

Сложим полученные одночлены и запишем результат в стандартном виде (в порядке убывания степеней):

$5a + 10a^2 - 5a^3 = -5a^3 + 10a^2 + 5a$

Ответ: $-5a^3 + 10a^2 + 5a$

в) Умножим дробный одночлен на каждый член многочлена в скобках.

$\frac{2}{3}x^2y(15x - 0,9y + 6) = (\frac{2}{3}x^2y) \cdot (15x) + (\frac{2}{3}x^2y) \cdot (-0,9y) + (\frac{2}{3}x^2y) \cdot 6$

Выполним умножение для каждого члена. Десятичную дробь $0,9$ можно представить как обыкновенную $\frac{9}{10}$ для удобства вычислений.

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot (15x) = (\frac{2}{3} \cdot 15) \cdot x^{2+1}y = \frac{30}{3}x^3y = 10x^3y$

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot (-0,9y) = (\frac{2}{3} \cdot (-\frac{9}{10})) \cdot x^2y^{1+1} = -\frac{18}{30}x^2y^2 = -\frac{3}{5}x^2y^2 = -0,6x^2y^2$

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot 6 = (\frac{2}{3} \cdot 6) \cdot x^2y = \frac{12}{3}x^2y = 4x^2y$

Сложим полученные результаты:

$10x^3y - 0,6x^2y^2 + 4x^2y$

Ответ: $10x^3y - 0,6x^2y^2 + 4x^2y$

г) Применим распределительный закон, умножив одночлен $3a^4x$ на каждый из четырех членов многочлена.

$3a^4x(a^2 - 2ax + x^3 - 1) = (3a^4x) \cdot a^2 + (3a^4x) \cdot (-2ax) + (3a^4x) \cdot x^3 + (3a^4x) \cdot (-1)$

Выполним умножение для каждого члена:

$(3a^4x) \cdot a^2 = 3a^{4+2}x = 3a^6x$

$(3a^4x) \cdot (-2ax) = (3 \cdot (-2)) \cdot a^{4+1}x^{1+1} = -6a^5x^2$

$(3a^4x) \cdot x^3 = 3a^4x^{1+3} = 3a^4x^4$

$(3a^4x) \cdot (-1) = -3a^4x$

Сложим полученные одночлены:

$3a^6x - 6a^5x^2 + 3a^4x^4 - 3a^4x$

Ответ: $3a^6x - 6a^5x^2 + 3a^4x^4 - 3a^4x$

д) Умножим каждый член многочлена на одночлен $3xy^2$.

$(x^2y - xy + xy^2 + y^3) \cdot 3xy^2 = (x^2y) \cdot (3xy^2) + (-xy) \cdot (3xy^2) + (xy^2) \cdot (3xy^2) + (y^3) \cdot (3xy^2)$

Выполним умножение для каждого члена:

$(x^2y) \cdot (3xy^2) = 3x^{2+1}y^{1+2} = 3x^3y^3$

$(-xy) \cdot (3xy^2) = -3x^{1+1}y^{1+2} = -3x^2y^3$

$(xy^2) \cdot (3xy^2) = 3x^{1+1}y^{2+2} = 3x^2y^4$

$(y^3) \cdot (3xy^2) = 3xy^{3+2} = 3xy^5$

Сложим полученные одночлены:

$3x^3y^3 - 3x^2y^3 + 3x^2y^4 + 3xy^5$

Ответ: $3x^3y^3 - 3x^2y^3 + 3x^2y^4 + 3xy^5$

е) Умножим одночлен на каждый член многочлена. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $2,1 = \frac{21}{10}$ и $0,7 = \frac{7}{10}$.

$-\frac{3}{7}a^4(2,1b^2 - 0,7a + 35) = (-\frac{3}{7}a^4) \cdot (2,1b^2) + (-\frac{3}{7}a^4) \cdot (-0,7a) + (-\frac{3}{7}a^4) \cdot 35$

Выполним умножение для каждого члена:

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot (\frac{21}{10}b^2) = (-\frac{3 \cdot 21}{7 \cdot 10})a^4b^2 = (-\frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 10})a^4b^2 = -\frac{9}{10}a^4b^2 = -0,9a^4b^2$

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot (-\frac{7}{10}a) = (\frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 10})a^{4+1} = \frac{3}{10}a^5 = 0,3a^5$

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot 35 = (-\frac{3 \cdot 35}{7})a^4 = (-3 \cdot 5)a^4 = -15a^4$

Сложим полученные одночлены и запишем результат в стандартном виде (в порядке убывания степеней $a$):

$0,3a^5 - 0,9a^4b^2 - 15a^4$

Ответ: $0,3a^5 - 0,9a^4b^2 - 15a^4$