Номер 666, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Вынесение общего множителя за скобки. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 666, страница 144.

Условие.

666. Разложите на множители многочлен:

а) $x^3 - 3x^2 + x$;

б) $m^2 - 2m^3 - m^4$;

в) $4a^5 - 2a^3 + a$;

г) $6x^2 - 4x^3 + 10x^4$;

д) $15a^3 - 9a^2 + 6a$;

е) $-3m^2 - 6m^3 + 12m^5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Исходный многочлен: $x^3 - 3x^2 + x$. Чтобы разложить многочлен на множители, нужно вынести общий множитель за скобки. В данном случае каждый член многочлена содержит переменную $x$. Наименьшая степень $x$ — первая, поэтому общим множителем является $x$.
$x^3 - 3x^2 + x = x \cdot x^2 - x \cdot 3x + x \cdot 1$
Выносим $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3x + 1)$
Квадратный трехчлен в скобках $x^2 - 3x + 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, так как его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$ не является полным квадратом. Таким образом, разложение завершено.
Ответ: $x(x^2 - 3x + 1)$

б) Исходный многочлен: $m^2 - 2m^3 - m^4$. Найдем общий множитель. Все члены многочлена содержат переменную $m$. Наименьшая степень $m$ — вторая ($m^2$). Вынесем $m^2$ за скобки.
$m^2 - 2m^3 - m^4 = m^2 \cdot 1 - m^2 \cdot 2m - m^2 \cdot m^2 = m^2(1 - 2m - m^2)$.
Чтобы сделать старший коэффициент в скобках положительным, можно вынести за скобку -1:
$m^2(1 - 2m - m^2) = -m^2(-1 + 2m + m^2) = -m^2(m^2 + 2m - 1)$.
Оба варианта являются верными. Трехчлен $m^2 + 2m - 1$ не раскладывается дальше на множители с целыми коэффициентами (его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$ не является полным квадратом).
Ответ: $m^2(1 - 2m - m^2)$

в) Исходный многочлен: $4a^5 - 2a^3 + a$. Общий множитель для всех членов — переменная $a$ в первой степени. Вынесем $a$ за скобки.
$4a^5 - 2a^3 + a = a \cdot 4a^4 - a \cdot 2a^2 + a \cdot 1 = a(4a^4 - 2a^2 + 1)$.
Рассмотрим выражение в скобках $4a^4 - 2a^2 + 1$. Это биквадратное выражение. Сделав замену $y = a^2$, получим квадратный трехчлен $4y^2 - 2y + 1$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$. Так как дискриминант отрицательный, этот трехчлен не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $a(4a^4 - 2a^2 + 1)$

г) Исходный многочлен: $6x^2 - 4x^3 + 10x^4$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6, -4, 10. НОД(6, 4, 10) = 2.
Найдем наименьшую степень переменной $x$. Это $x^2$.
Таким образом, общий множитель равен $2x^2$. Вынесем его за скобки.
$6x^2 - 4x^3 + 10x^4 = 2x^2 \cdot 3 - 2x^2 \cdot 2x + 2x^2 \cdot 5x^2 = 2x^2(3 - 2x + 5x^2)$.
Для удобства принято записывать многочлены в порядке убывания степеней:
$2x^2(5x^2 - 2x + 3)$.
Дискриминант квадратного трехчлена $5x^2 - 2x + 3$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 4 - 60 = -56 < 0$, поэтому дальнейшее разложение невозможно.
Ответ: $2x^2(5x^2 - 2x + 3)$

д) Исходный многочлен: $15a^3 - 9a^2 + 6a$. Найдем НОД коэффициентов 15, -9, 6. НОД(15, 9, 6) = 3.
Наименьшая степень переменной $a$ — первая ($a$).
Общий множитель равен $3a$. Вынесем его за скобки.
$15a^3 - 9a^2 + 6a = 3a \cdot 5a^2 - 3a \cdot 3a + 3a \cdot 2 = 3a(5a^2 - 3a + 2)$.
Дискриминант квадратного трехчлена $5a^2 - 3a + 2$ равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 - 40 = -31 < 0$, поэтому дальнейшее разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно.
Ответ: $3a(5a^2 - 3a + 2)$

е) Исходный многочлен: $-3m^2 - 6m^3 + 12m^5$. Для удобства расположим члены многочлена в порядке убывания степеней: $12m^5 - 6m^3 - 3m^2$.
Найдем НОД коэффициентов 12, -6, -3. НОД(12, 6, 3) = 3.
Наименьшая степень переменной $m$ — вторая ($m^2$).
Общий множитель равен $3m^2$. Вынесем его за скобки.
$12m^5 - 6m^3 - 3m^2 = 3m^2 \cdot 4m^3 - 3m^2 \cdot 2m - 3m^2 \cdot 1 = 3m^2(4m^3 - 2m - 1)$.
Многочлен в скобках $4m^3 - 2m - 1$ не имеет простых целых или рациональных корней, поэтому в рамках школьной программы его дальнейшее разложение не предполагается.
Ответ: $3m^2(4m^3 - 2m - 1)$