Номер 663, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Вынесение общего множителя за скобки. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 663, страница 143.

Условие.

663. (Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения:

а) $16^5 + 16^4$ кратно 17;

б) $38^9 - 38^8$ кратно 37;

в) $36^5 - 6^9$ кратно 30;

г) $5^{18} - 25^8$ кратно 120.

1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Предложите друг другу составить задание, аналогичное заданию б).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что выражение $16^5 + 16^4$ кратно 17, вынесем за скобки общий множитель $16^4$.

$16^5 + 16^4 = 16^4 \cdot 16^1 + 16^4 \cdot 1 = 16^4(16 + 1) = 16^4 \cdot 17$.

Так как один из множителей в полученном произведении равен 17, то все выражение делится на 17 без остатка.

Ответ: Выражение $16^5 + 16^4$ кратно 17, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что выражение $38^9 - 38^8$ кратно 37, вынесем за скобки общий множитель $38^8$.

$38^9 - 38^8 = 38^8 \cdot 38^1 - 38^8 \cdot 1 = 38^8(38 - 1) = 38^8 \cdot 37$.

Так как один из множителей в полученном произведении равен 37, то все выражение делится на 37 без остатка.

Ответ: Выражение $38^9 - 38^8$ кратно 37, что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что выражение $36^5 - 6^9$ кратно 30, представим число 36 как степень числа 6.

$36 = 6^2$.

Тогда выражение можно переписать в виде:

$(6^2)^5 - 6^9 = 6^{2 \cdot 5} - 6^9 = 6^{10} - 6^9$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $6^9$:

$6^{10} - 6^9 = 6^9(6 - 1) = 6^9 \cdot 5$.

Чтобы доказать кратность 30, представим 30 как $5 \cdot 6$.

$6^9 \cdot 5 = 6^8 \cdot 6 \cdot 5 = 6^8 \cdot (6 \cdot 5) = 6^8 \cdot 30$.

Так как один из множителей в полученном произведении равен 30, то все выражение делится на 30 без остатка.

Ответ: Выражение $36^5 - 6^9$ кратно 30, что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что выражение $5^{18} - 25^8$ кратно 120, представим число 25 как степень числа 5.

$25 = 5^2$.

Тогда выражение можно переписать в виде:

$5^{18} - (5^2)^8 = 5^{18} - 5^{2 \cdot 8} = 5^{18} - 5^{16}$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $5^{16}$:

$5^{18} - 5^{16} = 5^{16}(5^2 - 1) = 5^{16}(25 - 1) = 5^{16} \cdot 24$.

Чтобы доказать кратность 120, разложим 120 на множители: $120 = 5 \cdot 24$.

Преобразуем полученное выражение:

$5^{16} \cdot 24 = 5^{15} \cdot 5 \cdot 24 = 5^{15} \cdot (5 \cdot 24) = 5^{15} \cdot 120$.

Так как один из множителей в полученном произведении равен 120, то все выражение делится на 120 без остатка.

Ответ: Выражение $5^{18} - 25^8$ кратно 120, что и требовалось доказать.