Номер 729, страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Деление с остатком. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 729, страница 155.

Условие.

729. Верно ли, что при любых целых значениях a и b произведение $ab(a+b)(a-b)$ делится на 3?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что произведение $ab(a + b)(a - b)$ делится на 3 при любых целых значениях $a$ и $b$, нужно показать, что хотя бы один из множителей в этом произведении ($a$, $b$, $a+b$ или $a-b$) всегда делится на 3.

Рассмотрим все возможные остатки от деления целых чисел $a$ и $b$ на 3. Любое целое число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

Случай 1: Хотя бы одно из чисел, $a$ или $b$, делится на 3.

Если $a$ делится на 3 (то есть $a = 3k$ для некоторого целого $k$), то и всё произведение $ab(a + b)(a - b)$ делится на 3, так как один из его множителей ($a$) делится на 3.

Аналогично, если $b$ делится на 3, то и всё произведение делится на 3.

Случай 2: Ни $a$, ни $b$ не делятся на 3.

В этом случае остатки от деления $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2. Рассмотрим два подслучая.

Подслучай 2.1: $a$ и $b$ имеют одинаковые остатки при делении на 3.

• Если и $a$, и $b$ при делении на 3 дают в остатке 1 (то есть $a = 3k + 1$, $b = 3m + 1$), то их разность $(a - b) = (3k + 1) - (3m + 1) = 3k - 3m = 3(k - m)$. Эта разность делится на 3.
• Если и $a$, и $b$ при делении на 3 дают в остатке 2 (то есть $a = 3k + 2$, $b = 3m + 2$), то их разность $(a - b) = (3k + 2) - (3m + 2) = 3k - 3m = 3(k - m)$. Эта разность также делится на 3.

В обоих вариантах множитель $(a - b)$ делится на 3, а значит, и всё произведение делится на 3.

Подслучай 2.2: $a$ и $b$ имеют разные остатки при делении на 3.

Поскольку ни одно из чисел не делится на 3, это означает, что одно из них дает остаток 1, а другое — остаток 2.

• Пусть $a$ дает остаток 1, а $b$ — остаток 2 ($a = 3k + 1$, $b = 3m + 2$). Тогда их сумма $(a + b) = (3k + 1) + (3m + 2) = 3k + 3m + 3 = 3(k + m + 1)$. Эта сумма делится на 3.

В этом случае множитель $(a + b)$ делится на 3, следовательно, и всё произведение делится на 3.

Мы рассмотрели все возможные комбинации остатков для чисел $a$ и $b$ при делении на 3. В каждом случае было показано, что хотя бы один из множителей выражения $ab(a + b)(a - b)$ делится на 3. Следовательно, всё произведение всегда делится на 3.

Ответ: Да, верно.