Номер 808, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 808, страница 167.

Условие.

808. Представьте в виде многочлена квадрат двучлена:

а) $(-9a + 4b)^2$;

б) $(-11x - 7y)^2$;

в) $(-0,8x - 0,5b)^2$;

г) $(-1\frac{1}{3}p + 6q)^2$;

д) $(0,08a - 50b)^2$;

е) $(-0,5x - 60y)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Также полезно помнить, что $(-a-b)^2 = (a+b)^2$ и $(-a+b)^2 = (a-b)^2$.

а) Для преобразования выражения $(-9a + 4b)^2$ можно поменять слагаемые местами и использовать формулу квадрата разности.
$(-9a + 4b)^2 = (4b - 9a)^2$
Применим формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=4b$ и $y=9a$:
$(4b - 9a)^2 = (4b)^2 - 2 \cdot (4b) \cdot (9a) + (9a)^2 = 16b^2 - 72ab + 81a^2$.
Представим многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $a$:
$81a^2 - 72ab + 16b^2$.
Ответ: $81a^2 - 72ab + 16b^2$.

б) В выражении $(-11x - 7y)^2$ можно вынести за скобки общий множитель $-1$.
$(-11x - 7y)^2 = (-(11x + 7y))^2 = (-1)^2 \cdot (11x + 7y)^2 = (11x + 7y)^2$.
Теперь применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=11x$ и $b=7y$:
$(11x + 7y)^2 = (11x)^2 + 2 \cdot (11x) \cdot (7y) + (7y)^2 = 121x^2 + 154xy + 49y^2$.
Ответ: $121x^2 + 154xy + 49y^2$.

в) Выражение $(-0,8x - 0,5b)^2$ преобразуется аналогично предыдущему пункту.
$(-0,8x - 0,5b)^2 = (-(0,8x + 0,5b))^2 = (0,8x + 0,5b)^2$.
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=0,8x$ и $b=0,5b$:
$(0,8x + 0,5b)^2 = (0,8x)^2 + 2 \cdot (0,8x) \cdot (0,5b) + (0,5b)^2 = 0,64x^2 + 0,8xb + 0,25b^2$.
Ответ: $0,64x^2 + 0,8xb + 0,25b^2$.

г) Преобразуем выражение $(-1\frac{1}{3}p + 6q)^2$. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Выражение примет вид $(-\frac{4}{3}p + 6q)^2$, что равносильно $(6q - \frac{4}{3}p)^2$.
Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=6q$ и $b=\frac{4}{3}p$:
$(6q - \frac{4}{3}p)^2 = (6q)^2 - 2 \cdot (6q) \cdot (\frac{4}{3}p) + (\frac{4}{3}p)^2 = 36q^2 - \frac{2 \cdot 6 \cdot 4}{3}pq + \frac{16}{9}p^2 = 36q^2 - 16pq + \frac{16}{9}p^2$.
Запишем в стандартном виде: $\frac{16}{9}p^2 - 16pq + 36q^2$.
Ответ: $\frac{16}{9}p^2 - 16pq + 36q^2$.

д) Для выражения $(0,08a - 50b)^2$ применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x=0,08a$ и $y=50b$:
$(0,08a - 50b)^2 = (0,08a)^2 - 2 \cdot (0,08a) \cdot (50b) + (50b)^2 = 0,0064a^2 - 8ab + 2500b^2$.
Вычисления: $(0,08)^2 = 0,0064$; $2 \cdot 0,08 \cdot 50 = 0,16 \cdot 50 = 8$; $50^2 = 2500$.
Ответ: $0,0064a^2 - 8ab + 2500b^2$.

е) Выражение $(-0,5x - 60y)^2$ преобразуется по аналогии с пунктом б).
$(-0,5x - 60y)^2 = (-(0,5x + 60y))^2 = (0,5x + 60y)^2$.
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=0,5x$ и $b=60y$:
$(0,5x + 60y)^2 = (0,5x)^2 + 2 \cdot (0,5x) \cdot (60y) + (60y)^2 = 0,25x^2 + 60xy + 3600y^2$.
Вычисления: $(0,5)^2 = 0,25$; $2 \cdot 0,5 \cdot 60 = 1 \cdot 60 = 60$; $60^2 = 3600$.
Ответ: $0,25x^2 + 60xy + 3600y^2$.