Страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1057. Является ли пара чисел $u = 3, v = -1$ решением системы уравнений:

а) $\begin{cases} 3u + v = 8, \\ 7u - 2v = 23 \end{cases}$;

б) $\begin{cases} v + 2u = 5, \\ u + 2v = 1 \end{cases}$?

Для того чтобы определить, является ли пара чисел $u = 3, v = -1$ решением системы уравнений, необходимо подставить эти значения в каждое уравнение системы. Если в результате получаются верные числовые равенства для всех уравнений системы, то данная пара чисел является ее решением.

а)

Проверим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3u + v = 8, \\ 7u - 2v = 23 \end{cases} $$

Подставляем значения $u = 3$ и $v = -1$ в первое уравнение:

$3 \cdot (3) + (-1) = 9 - 1 = 8$

$8 = 8$

Равенство верное.

Теперь подставляем те же значения во второе уравнение:

$7 \cdot (3) - 2 \cdot (-1) = 21 + 2 = 23$

$23 = 23$

Равенство также верное.

Поскольку пара чисел $(3; -1)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы, она является решением данной системы.

Ответ: да, является.

б)

Проверим систему уравнений:

$$ \begin{cases} v + 2u = 5, \\ u + 2v = 1 \end{cases} $$

Подставляем значения $u = 3$ и $v = -1$ в первое уравнение:

$(-1) + 2 \cdot (3) = -1 + 6 = 5$

$5 = 5$

Равенство верное.

Теперь подставляем те же значения во второе уравнение:

$(3) + 2 \cdot (-1) = 3 - 2 = 1$

$1 = 1$

Равенство также верное.

Поскольку пара чисел $(3; -1)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы, она является решением данной системы.

Ответ: да, является.

1059. Составьте какую-либо систему линейных уравнений с переменными $x$ и $y$, решением которой служит пара:

а) $x = 4$, $y = 1$;

б) $x = 0$, $y = 3$.

а) Чтобы составить систему линейных уравнений, решением которой является пара $x=4, y=1$, необходимо придумать два линейных уравнения, которые становятся верными равенствами при подстановке в них указанных значений. Существует бесконечное множество таких систем, мы приведем один из самых простых примеров.

Составим первое уравнение. Возьмем сумму переменных $x$ и $y$ и вычислим ее значение для данной пары чисел: $x+y = 4+1=5$. Таким образом, первое уравнение системы: $x+y=5$.

Составим второе уравнение. Возьмем разность переменных $x$ и $y$ и вычислим ее значение: $x-y = 4-1=3$. Таким образом, второе уравнение системы: $x-y=3$.

Полученная система уравнений имеет вид:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases} $$

Ответ: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases} $$

б) Аналогичным образом составим систему уравнений для пары $x=0, y=3$.

Составим первое уравнение, используя сумму переменных: $x+y = 0+3=3$. Первое уравнение: $x+y=3$.

Составим второе уравнение, используя разность переменных: $x-y = 0-3=-3$. Второе уравнение: $x-y=-3$.

Полученная система уравнений имеет вид:

$$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -3 \end{cases} $$

Ответ: $$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -3 \end{cases} $$

1061. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - 2y = 6, \\ 3x + 2y = -6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 0, \\ 2x + 3y = -5. \end{cases}$

a)

Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы.

Рассмотрим первое уравнение: $x - 2y = 6$. Это линейное уравнение, его график — прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек. Выразим $y$ через $x$: $-2y = 6 - x$ $y = \frac{x}{2} - 3$ Теперь найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = \frac{0}{2} - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• Если $x = 6$, то $y = \frac{6}{2} - 3 = 3 - 3 = 0$. Получаем точку $(6, 0)$.

Рассмотрим второе уравнение: $3x + 2y = -6$. Это также линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$: $2y = -3x - 6$ $y = -\frac{3}{2}x - 3$ Найдем две точки для этой прямой:

• Если $x = 0$, то $y = -\frac{3}{2}(0) - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{3}{2}(-2) - 3 = 3 - 3 = 0$. Получаем точку $(-2, 0)$.

Теперь построим оба графика. Первый график проходит через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$. Второй график проходит через точки $(0, -3)$ и $(-2, 0)$. Очевидно, что обе прямые пересекаются в точке $(0, -3)$, так как эта точка принадлежит обеим прямым.

Ответ: $(0, -3)$

б)

Решим вторую систему уравнений графическим методом. Для этого построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $x - y = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = x$ Это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Для построения возьмем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1$. Точка $(1, 1)$.

Второе уравнение: $2x + 3y = -5$. Выразим $y$ через $x$: $3y = -2x - 5$ $y = -\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$ Найдем две точки для этой прямой:

• Если $x = -1$, то $y = -\frac{2}{3}(-1) - \frac{5}{3} = \frac{2}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Точка $(-1, -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{2}{3}(2) - \frac{5}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{9}{3} = -3$. Точка $(2, -3)$.

Построим графики. Первая прямая ($y=x$) проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Вторая прямая ($y = -\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$) проходит через точки $(-1, -1)$ и $(2, -3)$. Точка пересечения этих двух прямых — это и есть решение системы. Из найденных нами точек видно, что точка $(-1, -1)$ принадлежит обоим графикам.

Ответ: $(-1, -1)$

1063. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:

а) $\begin{cases} x = 6y - 1 \\ 2x - 10y = 3 \end{cases}$ б) $\begin{cases} 5x + y = 4 \\ x + y - 6 = 0 \end{cases}$ в) $\begin{cases} 12x - 3y = 5 \\ 6y - 24x = -10 \end{cases}$

1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.

2) Выполните совместно задание а).

3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными зависит от взаимного расположения прямых, которые являются графиками этих уравнений. Для системы вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ существует три возможных случая:

• Система имеет одно решение, если прямые пересекаются. Это происходит, когда их коэффициенты при переменных не пропорциональны: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.
• Система не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.
• Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты пропорциональны: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

Для определения количества решений можно также решить систему алгебраически. Если в результате получаются конкретные значения для $x$ и $y$ — решение одно. Если получается неверное равенство (например, $0=5$) — решений нет. Если получается тождество (например, $0=0$) — решений бесконечно много.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 6y - 1 \\ 2x - 10y = 3 \end{cases} $

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$ 2(6y - 1) - 10y = 3 $

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$ 12y - 2 - 10y = 3 $

$ 2y - 2 = 3 $

$ 2y = 5 $

$ y = \frac{5}{2} = 2.5 $

Теперь найдем $x$, подставив полученное значение $y$ в первое уравнение:

$ x = 6 \cdot 2.5 - 1 $

$ x = 15 - 1 $

$ x = 14 $

Система имеет единственное решение, так как мы нашли одну пару значений $(x; y)$, удовлетворяющую обоим уравнениям.

Ответ: система имеет одно решение $(14; 2,5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + y = 4 \\ x + y - 6 = 0 \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение: $x + y = 6$.

Выразим переменную $y$ из второго уравнения: $y = 6 - x$.

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$ 5x + (6 - x) = 4 $

Решим уравнение относительно $x$:

$ 4x + 6 = 4 $

$ 4x = -2 $

$ x = -\frac{2}{4} = -0.5 $

Найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 6 - x$:

$ y = 6 - (-0.5) $

$ y = 6.5 $

Система имеет единственное решение, так как найдена одна пара значений $(x; y)$.

Ответ: система имеет одно решение $(-0,5; 6,5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 12x - 3y = 5 \\ 6y - 24x = -10 \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые: $-24x + 6y = -10$.

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 12x - 3y = 5 \\ -24x + 6y = -10 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2:

$ 2(12x - 3y) = 2 \cdot 5 \implies 24x - 6y = 10 $

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы ($-24x + 6y = -10$):

$ (24x - 6y) + (-24x + 6y) = 10 + (-10) $

$ 0 = 0 $

Мы получили верное равенство $0 = 0$, которое не зависит от переменных. Это означает, что уравнения в системе эквивалентны (одно можно получить из другого), и их графики совпадают. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

1058. Какие из пар (-3; 4), (-2; -6), (-4; 3) являются решениями системы уравнений:

а) $\begin{cases} x = y - 7, \\ 3x + 4y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 13x - y = 0, \\ 5x - y = -4 \end{cases}$?

Чтобы определить, является ли пара чисел решением системы уравнений, нужно подставить значения $x$ и $y$ из этой пары в каждое уравнение системы. Если оба равенства окажутся верными, то пара является решением.

а) Проверим каждую пару для системы уравнений: $ \begin{cases} x = y - 7, \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $

1. Проверяем пару $(-3; 4)$:
Подставляем $x = -3$ и $y = 4$ в первое уравнение:
$-3 = 4 - 7$
$-3 = -3$ (Верно)
Подставляем $x = -3$ и $y = 4$ во второе уравнение:
$3 \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = 0$
$-9 + 16 = 0$
$7 = 0$ (Неверно)
Так как второе равенство неверное, пара $(-3; 4)$ не является решением системы.

2. Проверяем пару $(-2; -6)$:
Подставляем $x = -2$ и $y = -6$ в первое уравнение:
$-2 = -6 - 7$
$-2 = -13$ (Неверно)
Так как уже первое равенство неверное, пара $(-2; -6)$ не является решением системы.

3. Проверяем пару $(-4; 3)$:
Подставляем $x = -4$ и $y = 3$ в первое уравнение:
$-4 = 3 - 7$
$-4 = -4$ (Верно)
Подставляем $x = -4$ и $y = 3$ во второе уравнение:
$3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = 0$
$-12 + 12 = 0$
$0 = 0$ (Верно)
Оба равенства верны, значит пара $(-4; 3)$ является решением системы.

Ответ: решением системы а) является пара $(-4; 3)$.

б) Проверим каждую пару для системы уравнений: $ \begin{cases} 13x - y = 0, \\ 5x - y = -4 \end{cases} $

1. Проверяем пару $(-3; 4)$:
Подставляем $x = -3$ и $y = 4$ в первое уравнение:
$13 \cdot (-3) - 4 = 0$
$-39 - 4 = 0$
$-43 = 0$ (Неверно)
Пара $(-3; 4)$ не является решением системы.

2. Проверяем пару $(-2; -6)$:
Подставляем $x = -2$ и $y = -6$ в первое уравнение:
$13 \cdot (-2) - (-6) = 0$
$-26 + 6 = 0$
$-20 = 0$ (Неверно)
Пара $(-2; -6)$ не является решением системы.

3. Проверяем пару $(-4; 3)$:
Подставляем $x = -4$ и $y = 3$ в первое уравнение:
$13 \cdot (-4) - 3 = 0$
$-52 - 3 = 0$
$-55 = 0$ (Неверно)
Пара $(-4; 3)$ не является решением системы.

Ответ: ни одна из предложенных пар не является решением системы б).

1060. Решите графически систему линейных уравнений:

a) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + 3y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y = 4, \\ -2x + 5y = 10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 0, \\ -3x + 4y = 14; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x - 2y = 6, \\ 3x + 10y = -12. \end{cases}$

а) $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$

Для решения системы графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

1. Построим график первого уравнения: $x - y = 1$. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции: $y = x - 1$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.

2. Построим график второго уравнения: $x + 3y = 9$. Выразим $y$ через $x$: $3y = 9 - x$, откуда $y = -\frac{1}{3}x + 3$. Это также линейная функция. Найдем две точки для построения ее графика.

• Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{3}(0) + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• Если $x = 3$, то $y = -\frac{1}{3}(3) + 3 = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.

3. Построим оба графика. Прямая $y = x - 1$ проходит через точки $(0, -1)$ и $(3, 2)$. Прямая $y = -\frac{1}{3}x + 3$ проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 2)$. Графики пересекаются в точке с координатами $(3, 2)$.

Проверим, подставив найденные значения в исходную систему: $\begin{cases} 3 - 2 = 1 \\ 3 + 3 \cdot 2 = 9 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 1 = 1 \\ 9 = 9 \end{cases}$ Равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(3, 2)$

б) $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ -2x + 5y = 10 \end{cases}$

1. Построим график уравнения $x + 2y = 4$. Выразим $y$: $2y = 4 - x$, $y = -\frac{1}{2}x + 2$. Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{1}{2}(4) + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(4, 0)$.

2. Построим график уравнения $-2x + 5y = 10$. Выразим $y$: $5y = 2x + 10$, $y = \frac{2}{5}x + 2$. Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{5}(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $x = 5$, то $y = \frac{2}{5}(5) + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка $(5, 4)$.

3. Построив графики, мы видим, что обе прямые проходят через точку $(0, 2)$. Следовательно, это и есть точка их пересечения.

Проверка: $\begin{cases} 0 + 2 \cdot 2 = 4 \\ -2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 10 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 4 = 4 \\ 10 = 10 \end{cases}$ Равенства верны.

Ответ: $(0, 2)$

в) $\begin{cases} x + y = 0 \\ -3x + 4y = 14 \end{cases}$

1. Построим график уравнения $x + y = 0$. Выразим $y$: $y = -x$. Это прямая, проходящая через начало координат. Найдем еще одну точку:

• Если $x = 0$, то $y=0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$.

2. Построим график уравнения $-3x + 4y = 14$. Выразим $y$: $4y = 3x + 14$, $y = \frac{3}{4}x + \frac{14}{4} = \frac{3}{4}x + 3.5$. Найдем две точки:

• Если $x = -2$, то $y = \frac{3}{4}(-2) + 3.5 = -1.5 + 3.5 = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{3}{4}(2) + 3.5 = 1.5 + 3.5 = 5$. Точка $(2, 5)$.

3. Прямая $y=-x$ проходит через $(0,0)$ и $(-2,2)$. Прямая $y = \frac{3}{4}x + 3.5$ проходит через $(-2,2)$ и $(2,5)$. Точка пересечения графиков — $(-2, 2)$.

Проверка: $\begin{cases} -2 + 2 = 0 \\ -3(-2) + 4(2) = 14 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 0 = 0 \\ 6 + 8 = 14 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 0 = 0 \\ 14 = 14 \end{cases}$ Равенства верны.

Ответ: $(-2, 2)$

г) $\begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 3x + 10y = -12 \end{cases}$

1. Построим график уравнения $3x - 2y = 6$. Выразим $y$: $-2y = 6 - 3x$, $y = \frac{3}{2}x - 3$. Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{3}{2}(2) - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(2, 0)$.

2. Построим график уравнения $3x + 10y = -12$. Выразим $y$: $10y = -3x - 12$, $y = -\frac{3}{10}x - \frac{12}{10} = -0.3x - 1.2$. Найдем две точки:

• Если $x = -4$, то $y = -0.3(-4) - 1.2 = 1.2 - 1.2 = 0$. Точка $(-4, 0)$.
• Если $x = 6$, то $y = -0.3(6) - 1.2 = -1.8 - 1.2 = -3$. Точка $(6, -3)$.

3. Построим прямую $y = \frac{3}{2}x - 3$ через точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$, и прямую $y = -0.3x - 1.2$ через точки $(-4, 0)$ и $(6, -3)$. Точка пересечения графиков является решением. На глаз определить координаты может быть сложно. Для точности можно решить систему алгебраически (например, методом вычитания), чтобы найти точные координаты точки пересечения. Вычтем второе уравнение из первого: $(3x - 2y) - (3x + 10y) = 6 - (-12)$ $-12y = 18$ $y = -\frac{18}{12} = -1.5$ Подставим $y = -1.5$ в первое уравнение: $3x - 2(-1.5) = 6 \implies 3x + 3 = 6 \implies 3x = 3 \implies x = 1$. Точка пересечения: $(1, -1.5)$.

Проверка: $\begin{cases} 3(1) - 2(-1.5) = 6 \\ 3(1) + 10(-1.5) = -12 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 3 + 3 = 6 \\ 3 - 15 = -12 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 6 = 6 \\ -12 = -12 \end{cases}$ Равенства верны.

Ответ: $(1, -1.5)$

1062. Выясните, имеет ли система решения и сколько:

a) $\begin{cases} 4y - x = 12 \\ 3y + x = -3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - 3x = 0 \\ 3y - x = 6 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 1.5x = 1 \\ -3x + 2y = -2 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0.5x \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x = 11 - 2y \\ 6y = 22 - 4x \end{cases}$

е) $\begin{cases} -x + 2y = 8 \\ x + 4y = 10 \end{cases}$

Чтобы определить количество решений системы, приведем оба уравнения к виду линейной функции $y = kx + b$ и сравним их угловые коэффициенты $k$.
Первое уравнение: $4y = x + 12 \implies y = \frac{1}{4}x + 3$. Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{4}$.
Второе уравнение: $3y = -x - 3 \implies y = -\frac{1}{3}x - 1$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{3}$.
Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $y = 3x$. Угловой коэффициент $k_1 = 3$.
Второе уравнение: $3y = x + 6 \implies y = \frac{1}{3}x + 2$. Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{3}$.
Так как угловые коэффициенты не равны ($3 \neq \frac{1}{3}$), прямые пересекаются в одной точке. Значит, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

Из первого уравнения системы можно однозначно найти значение $x$: $x = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
Подставив это значение во второе уравнение, найдем соответствующее значение $y$:
$-3(\frac{2}{3}) + 2y = -2$
$-2 + 2y = -2$
$2y = 0 \implies y = 0$.
Поскольку существует единственная пара значений $(x, y) = (\frac{2}{3}, 0)$, которая является решением, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $2y = -x + 3 \implies y = -0,5x + 1,5$. Угловой коэффициент $k_1 = -0,5$, свободный член $b_1 = 1,5$.
Второе уравнение уже представлено в этом виде: $y = -0,5x$ (или $y = -0,5x + 0$). Угловой коэффициент $k_2 = -0,5$, свободный член $b_2 = 0$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

Выразим $y$ через $x$ в каждом уравнении, чтобы сравнить параметры линейных функций.
Первое уравнение: $2y = -2x + 11 \implies y = -x + 5,5$. Угловой коэффициент $k_1 = -1$.
Второе уравнение: $6y = -4x + 22 \implies y = -\frac{4}{6}x + \frac{22}{6} \implies y = -\frac{2}{3}x + \frac{11}{3}$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{2}{3}$.
Поскольку угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются в одной точке. Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

Найдем угловые коэффициенты для каждого уравнения, приведя их к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $2y = x + 8 \implies y = \frac{1}{2}x + 4$. Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.
Второе уравнение: $4y = -x + 10 \implies y = -\frac{1}{4}x + 2,5$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{4}$.
Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.