Номер 1061, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1061, страница 210.

Условие.

1061. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - 2y = 6, \\ 3x + 2y = -6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 0, \\ 2x + 3y = -5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a)

Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы.

Рассмотрим первое уравнение: $x - 2y = 6$. Это линейное уравнение, его график — прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек. Выразим $y$ через $x$: $-2y = 6 - x$ $y = \frac{x}{2} - 3$ Теперь найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = \frac{0}{2} - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• Если $x = 6$, то $y = \frac{6}{2} - 3 = 3 - 3 = 0$. Получаем точку $(6, 0)$.

Рассмотрим второе уравнение: $3x + 2y = -6$. Это также линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$: $2y = -3x - 6$ $y = -\frac{3}{2}x - 3$ Найдем две точки для этой прямой:

• Если $x = 0$, то $y = -\frac{3}{2}(0) - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{3}{2}(-2) - 3 = 3 - 3 = 0$. Получаем точку $(-2, 0)$.

Теперь построим оба графика. Первый график проходит через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$. Второй график проходит через точки $(0, -3)$ и $(-2, 0)$. Очевидно, что обе прямые пересекаются в точке $(0, -3)$, так как эта точка принадлежит обеим прямым.

Ответ: $(0, -3)$

б)

Решим вторую систему уравнений графическим методом. Для этого построим графики обоих уравнений.

Первое уравнение: $x - y = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = x$ Это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Для построения возьмем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1$. Точка $(1, 1)$.

Второе уравнение: $2x + 3y = -5$. Выразим $y$ через $x$: $3y = -2x - 5$ $y = -\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$ Найдем две точки для этой прямой:

• Если $x = -1$, то $y = -\frac{2}{3}(-1) - \frac{5}{3} = \frac{2}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Точка $(-1, -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{2}{3}(2) - \frac{5}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{9}{3} = -3$. Точка $(2, -3)$.

Построим графики. Первая прямая ($y=x$) проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Вторая прямая ($y = -\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$) проходит через точки $(-1, -1)$ и $(2, -3)$. Точка пересечения этих двух прямых — это и есть решение системы. Из найденных нами точек видно, что точка $(-1, -1)$ принадлежит обоим графикам.

Ответ: $(-1, -1)$