Номер 1063, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1063, страница 210.

Условие.

1063. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:

а) $\begin{cases} x = 6y - 1 \\ 2x - 10y = 3 \end{cases}$ б) $\begin{cases} 5x + y = 4 \\ x + y - 6 = 0 \end{cases}$ в) $\begin{cases} 12x - 3y = 5 \\ 6y - 24x = -10 \end{cases}$

1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.

2) Выполните совместно задание а).

3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными зависит от взаимного расположения прямых, которые являются графиками этих уравнений. Для системы вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ существует три возможных случая:

• Система имеет одно решение, если прямые пересекаются. Это происходит, когда их коэффициенты при переменных не пропорциональны: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.
• Система не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.
• Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты пропорциональны: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

Для определения количества решений можно также решить систему алгебраически. Если в результате получаются конкретные значения для $x$ и $y$ — решение одно. Если получается неверное равенство (например, $0=5$) — решений нет. Если получается тождество (например, $0=0$) — решений бесконечно много.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 6y - 1 \\ 2x - 10y = 3 \end{cases} $

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$ 2(6y - 1) - 10y = 3 $

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$ 12y - 2 - 10y = 3 $

$ 2y - 2 = 3 $

$ 2y = 5 $

$ y = \frac{5}{2} = 2.5 $

Теперь найдем $x$, подставив полученное значение $y$ в первое уравнение:

$ x = 6 \cdot 2.5 - 1 $

$ x = 15 - 1 $

$ x = 14 $

Система имеет единственное решение, так как мы нашли одну пару значений $(x; y)$, удовлетворяющую обоим уравнениям.

Ответ: система имеет одно решение $(14; 2,5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + y = 4 \\ x + y - 6 = 0 \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение: $x + y = 6$.

Выразим переменную $y$ из второго уравнения: $y = 6 - x$.

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$ 5x + (6 - x) = 4 $

Решим уравнение относительно $x$:

$ 4x + 6 = 4 $

$ 4x = -2 $

$ x = -\frac{2}{4} = -0.5 $

Найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 6 - x$:

$ y = 6 - (-0.5) $

$ y = 6.5 $

Система имеет единственное решение, так как найдена одна пара значений $(x; y)$.

Ответ: система имеет одно решение $(-0,5; 6,5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 12x - 3y = 5 \\ 6y - 24x = -10 \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые: $-24x + 6y = -10$.

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 12x - 3y = 5 \\ -24x + 6y = -10 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2:

$ 2(12x - 3y) = 2 \cdot 5 \implies 24x - 6y = 10 $

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы ($-24x + 6y = -10$):

$ (24x - 6y) + (-24x + 6y) = 10 + (-10) $

$ 0 = 0 $

Мы получили верное равенство $0 = 0$, которое не зависит от переменных. Это означает, что уравнения в системе эквивалентны (одно можно получить из другого), и их графики совпадают. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.