Номер 3, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 3, страница 211.

Условие.

3 Что является графиком уравнения $ax + by = c$ с переменными $x$ и $y$, где $a \neq 0$ или $b \neq 0$?

Решение 1.

Решение 5.

Уравнение вида $ax + by = c$ является общим видом линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$. Условие, что $a \neq 0$ или $b \neq 0$, означает, что по крайней мере один из коэффициентов при переменных не равен нулю. Чтобы определить, что является графиком этого уравнения, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: коэффициент $b \neq 0$.

В этой ситуации мы можем выразить $y$ через $x$ из уравнения:

$by = -ax + c$

Разделив обе части на $b$, получим:

$y = (-\frac{a}{b})x + (\frac{c}{b})$

Полученное уравнение имеет вид $y = kx + m$, где $k = -\frac{a}{b}$ — угловой коэффициент, а $m = \frac{c}{b}$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$. Это каноническое уравнение прямой. Таким образом, если $b \neq 0$, графиком уравнения является прямая.

Случай 2: коэффициент $b = 0$.

Согласно условию, если $b = 0$, то коэффициент $a$ должен быть не равен нулю ($a \neq 0$). Уравнение принимает вид:

$ax + 0 \cdot y = c$

$ax = c$

Поскольку $a \neq 0$, мы можем разделить обе части на $a$:

$x = \frac{c}{a}$

Это уравнение задаёт множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса $x$ постоянна и равна $\frac{c}{a}$, в то время как ордината $y$ может быть любой. Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ (или совпадающая с ней, если $c=0$).

Таким образом, в любом случае, когда выполняется условие, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, графиком уравнения $ax + by = c$ является прямая линия.

Ответ: Прямая.