Номер 5, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 5, страница 211.

Условие.

5 Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Решение 1.

Решение 5.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ имеет общий вид: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ Каждое такое уравнение графически представляет собой прямую на координатной плоскости. Количество решений системы зависит от взаимного расположения этих двух прямых. Существует три возможных случая.

Одно решение
Система имеет одно-единственное решение, если прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Координаты этой точки $(x; y)$ и являются решением системы.
Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых различны. Алгебраически это условие выражается как непропорциональность коэффициентов при переменных: $$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $$ Пример: $$ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} $$ Здесь $\frac{2}{1} \neq \frac{-1}{1}$. Система имеет единственное решение $(2; 3)$.

Нет решений
Система не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают. У таких прямых нет ни одной общей точки.
Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых равны, а точки пересечения с осью Y различны. Алгебраически это означает, что коэффициенты при переменных пропорциональны, но это отношение не равно отношению свободных членов: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$ Пример: $$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + 2y = 5 \end{cases} $$ Здесь $\frac{1}{1} = \frac{2}{2} \neq \frac{3}{5}$. Система не имеет решений.

Бесконечно много решений
Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. В этом случае любая точка одной прямой является также точкой другой прямой, то есть все точки прямой являются решениями системы.
Это происходит, когда оба уравнения по сути одинаковы (одно можно получить из другого умножением на число). Алгебраически это означает, что все коэффициенты пропорциональны: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$ Пример: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - 3y = 6 \end{cases} $$ Здесь $\frac{1}{3} = \frac{-1}{-3} = \frac{2}{6}$. Система имеет бесконечно много решений — это все пары чисел $(x; y)$, для которых $y = x - 2$.

Ответ: Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.