Номер 1073, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1073, страница 214.

Условие.

1073. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений:

а) $7x + 4y = 23$ и $8x - 10y = 19$;

б) $11x - 6y = 2$ и $-8x + 5y = 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух уравнений, необходимо решить систему этих уравнений. Координаты $(x, y)$ точки пересечения являются решением данной системы.

а) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 4y = 23 \\ 8x - 10y = 19 \end{cases} $

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} (7x + 4y) \cdot 5 = 23 \cdot 5 \\ (8x - 10y) \cdot 2 = 19 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 35x + 20y = 115 \\ 16x - 20y = 38 \end{cases} $

Сложим почленно два уравнения системы:

$(35x + 20y) + (16x - 20y) = 115 + 38$

$51x = 153$

$x = \frac{153}{51}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$7 \cdot 3 + 4y = 23$

$21 + 4y = 23$

$4y = 23 - 21$

$4y = 2$

$y = \frac{2}{4} = 0.5$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(3; 0.5)$.

Ответ: $(3; 0.5)$.

б) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} 11x - 6y = 2 \\ -8x + 5y = 3 \end{cases} $

Снова используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы избавиться от переменной $y$:

$ \begin{cases} (11x - 6y) \cdot 5 = 2 \cdot 5 \\ (-8x + 5y) \cdot 6 = 3 \cdot 6 \end{cases} \implies \begin{cases} 55x - 30y = 10 \\ -48x + 30y = 18 \end{cases} $

Сложим почленно полученные уравнения:

$(55x - 30y) + (-48x + 30y) = 10 + 18$

$7x = 28$

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$-8 \cdot 4 + 5y = 3$

$-32 + 5y = 3$

$5y = 3 + 32$

$5y = 35$

$y = \frac{35}{5}$

$y = 7$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(4; 7)$.

Ответ: $(4; 7)$.