Номер 1069, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1069, страница 213.

Условие.

1069. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} y - 2x = 1, \\ 6x - y = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7x - 3y = 13, \\ x - 2y = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 6, \\ 3x - 5y = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x - y = 11, \\ 6x - 2y = 13; \end{cases}$

д) $\begin{cases} y - x = 20, \\ 2x - 15y = -1; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 25 - x = -4y, \\ 3x - 2y = 30. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y - 2x = 1 \\ 6x - y = 7 \end{cases}$

Данную систему удобно решать методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(y - 2x) + (6x - y) = 1 + 7$

Приводим подобные слагаемые:

$4x = 8$

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$y - 2 \cdot 2 = 1$

$y - 4 = 1$

$y = 1 + 4$

$y = 5$

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:

$6 \cdot 2 - 5 = 12 - 5 = 7$. Равенство верно.

Ответ: $x = 2, y = 5$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 7x - 3y = 13 \\ x - 2y = 5 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 5 + 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$7(5 + 2y) - 3y = 13$

$35 + 14y - 3y = 13$

$11y = 13 - 35$

$11y = -22$

$y = \frac{-22}{11}$

$y = -2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 5 + 2(-2) = 5 - 4 = 1$

Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение:

$7 \cdot 1 - 3(-2) = 7 + 6 = 13$. Равенство верно.

Ответ: $x = 1, y = -2$.

в) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 6 \\ 3x - 5y = 2 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 6 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(6 - y) - 5y = 2$

$18 - 3y - 5y = 2$

$18 - 8y = 2$

$-8y = 2 - 18$

$-8y = -16$

$y = \frac{-16}{-8} = 2$

Теперь найдем $x$:

$x = 6 - 2 = 4$

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:

$3 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 12 - 10 = 2$. Равенство верно.

Ответ: $x = 4, y = 2$.

г) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 4x - y = 11 \\ 6x - 2y = 13 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 4x - 11$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$6x - 2(4x - 11) = 13$

$6x - 8x + 22 = 13$

$-2x = 13 - 22$

$-2x = -9$

$x = \frac{-9}{-2} = 4.5$

Теперь найдем $y$:

$y = 4(4.5) - 11 = 18 - 11 = 7$

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:

$6(4.5) - 2 \cdot 7 = 27 - 14 = 13$. Равенство верно.

Ответ: $x = 4.5, y = 7$.

д) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y - x = 20 \\ 2x - 15y = -1 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 20 + x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x - 15(20 + x) = -1$

$2x - 300 - 15x = -1$

$-13x = -1 + 300$

$-13x = 299$

$x = \frac{299}{-13} = -23$

Теперь найдем $y$:

$y = 20 + (-23) = -3$

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:

$2(-23) - 15(-3) = -46 + 45 = -1$. Равенство верно.

Ответ: $x = -23, y = -3$.

е) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 25 - x = -4y \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$

Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:

$\begin{cases} x - 4y = 25 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$-2(3x - 2y) = -2 \cdot 30 \implies -6x + 4y = -60$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} x - 4y = 25 \\ -6x + 4y = -60 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - 4y) + (-6x + 4y) = 25 + (-60)$

$-5x = -35$

$x = \frac{-35}{-5} = 7$

Подставим значение $x$ во второе исходное уравнение:

$3 \cdot 7 - 2y = 30$

$21 - 2y = 30$

$-2y = 30 - 21$

$-2y = 9$

$y = \frac{9}{-2} = -4.5$

Проверим, подставив найденные значения в первое исходное уравнение:

$25 - 7 = 18$ и $-4(-4.5) = 18$. Равенство $18 = 18$ верно.

Ответ: $x = 7, y = -4.5$.