Номер 1074, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1074, страница 214.

Условие.

1074. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:

а) $5x - 4y = 16$ и $x - 2y = 6$;

б) $20x - 15y = 100$ и $3x - y = 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения, необходимо решить систему, состоящую из этих уравнений. Координаты $(x, y)$ точки пересечения являются решением этой системы.

Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 5x - 4y = 16 \\ x - 2y = 6 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = 6 + 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$5(6 + 2y) - 4y = 16$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:
$30 + 10y - 4y = 16$
$6y = 16 - 30$
$6y = -14$
$y = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$

Подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$, чтобы найти его значение:
$x = 6 + 2y = 6 + 2(-\frac{7}{3}) = 6 - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} - \frac{14}{3} = \frac{4}{3}$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$.

Ответ: $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$

б)

Аналогично пункту а), составим и решим систему уравнений для нахождения координат точки пересечения.

Система уравнений:
$ \begin{cases} 20x - 15y = 100 \\ 3x - y = 6 \end{cases} $

Заметим, что первое уравнение можно упростить, разделив все его члены на 5:
$4x - 3y = 20$

Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 4x - 3y = 20 \\ 3x - y = 6 \end{cases} $

Из второго уравнения удобно выразить переменную $y$:
$y = 3x - 6$

Подставим это выражение в первое (упрощенное) уравнение:
$4x - 3(3x - 6) = 20$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$4x - 9x + 18 = 20$
$-5x = 20 - 18$
$-5x = 2$
$x = -\frac{2}{5}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 3x - 6$:
$y = 3(-\frac{2}{5}) - 6 = -\frac{6}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{36}{5}$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$.

Ответ: $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$