Номер 1077, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1077, страница 214.

Условие.

1077. Найдите решение системы уравнений:

a) $ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4, \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = -2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{a}{6} - 2b = 6, \\ -3a + \frac{b}{2} = -37; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1, \\ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 7x - \frac{3y}{5} = -4, \\ x + \frac{2y}{5} = -3. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = -2 \end{cases} $$ Для того чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), а второе уравнение на 2. $$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{y}{2}) = 6 \cdot (-4) \\ 2 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) = 2 \cdot (-2) \end{cases} $$ Получим упрощенную систему: $$ \begin{cases} 2x - 3y = -24 \\ x + y = -4 \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$: $x = -4 - y$ Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение: $2(-4 - y) - 3y = -24$ $-8 - 2y - 3y = -24$ $-8 - 5y = -24$ $-5y = -24 + 8$ $-5y = -16$ $y = \frac{-16}{-5} = \frac{16}{5} = 3.2$ Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = -4 - y$: $x = -4 - \frac{16}{5} = -\frac{20}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{36}{5} = -7.2$
Ответ: $x = -7.2, y = 3.2$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{a}{6} - 2b = 6 \\ -3a + \frac{b}{2} = -37 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на 6, а второе на 2, чтобы избавиться от знаменателей: $$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{a}{6} - 2b) = 6 \cdot 6 \\ 2 \cdot (-3a + \frac{b}{2}) = 2 \cdot (-37) \end{cases} $$ Получим упрощенную систему: $$ \begin{cases} a - 12b = 36 \\ -6a + b = -74 \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 36 + 12b$ Подставим это выражение во второе уравнение: $-6(36 + 12b) + b = -74$ $-216 - 72b + b = -74$ $-216 - 71b = -74$ $-71b = -74 + 216$ $-71b = 142$ $b = \frac{142}{-71} = -2$ Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = 36 + 12b$: $a = 36 + 12(-2) = 36 - 24 = 12$
Ответ: $a = 12, b = -2$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1 \\ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на 15 (НОК 5 и 3), а второе на 30 (НОК 10 и 6), чтобы избавиться от дробей: $$ \begin{cases} 15 \cdot (\frac{2m}{5} + \frac{n}{3}) = 15 \cdot 1 \\ 30 \cdot (\frac{m}{10} - \frac{7n}{6}) = 30 \cdot 4 \end{cases} $$ Получим упрощенную систему: $$ \begin{cases} 6m + 5n = 15 \\ 3m - 35n = 120 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $m$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 6m + 5n = 15 \\ -2(3m - 35n) = -2(120) \end{cases} \implies \begin{cases} 6m + 5n = 15 \\ -6m + 70n = -240 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $(6m + 5n) + (-6m + 70n) = 15 + (-240)$ $75n = -225$ $n = \frac{-225}{75} = -3$ Теперь найдем $m$, подставив $n = -3$ в первое упрощенное уравнение $6m + 5n = 15$: $6m + 5(-3) = 15$ $6m - 15 = 15$ $6m = 30$ $m = \frac{30}{6} = 5$
Ответ: $m = 5, n = -3$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 7x - \frac{3y}{5} = -4 \\ x + \frac{2y}{5} = -3 \end{cases} $$ Умножим оба уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателей: $$ \begin{cases} 5 \cdot (7x - \frac{3y}{5}) = 5 \cdot (-4) \\ 5 \cdot (x + \frac{2y}{5}) = 5 \cdot (-3) \end{cases} $$ Получим упрощенную систему: $$ \begin{cases} 35x - 3y = -20 \\ 5x + 2y = -15 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку: $$ \begin{cases} 2(35x - 3y) = 2(-20) \\ 3(5x + 2y) = 3(-15) \end{cases} \implies \begin{cases} 70x - 6y = -40 \\ 15x + 6y = -45 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $(70x - 6y) + (15x + 6y) = -40 + (-45)$ $85x = -85$ $x = -1$ Теперь найдем $y$, подставив $x = -1$ во второе упрощенное уравнение $5x + 2y = -15$: $5(-1) + 2y = -15$ $-5 + 2y = -15$ $2y = -15 + 5$ $2y = -10$ $y = -5$
Ответ: $x = -1, y = -5$.