Номер 1072, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1072, страница 214.

Условие.

1072. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 3x + 4y = 0, \\ 2x + 3y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7x + 2y = 0, \\ 4y + 9x = 10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x + 6y = -20, \\ 9y + 2x = 25; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + 1 = 8y, \\ 11y - 3x = -11. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 4y = 0, \\ 2x + 3y = 1. \end{cases} $$ Для решения используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами. $$ \begin{cases} 2(3x + 4y) = 2 \cdot 0, \\ -3(2x + 3y) = -3 \cdot 1; \end{cases} $$ В результате получаем следующую систему: $$ \begin{cases} 6x + 8y = 0, \\ -6x - 9y = -3. \end{cases} $$ Теперь сложим два уравнения почленно: $$(6x + 8y) + (-6x - 9y) = 0 + (-3)$$ $$6x + 8y - 6x - 9y = -3$$ $$-y = -3$$ $$y = 3$$ Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$: $$3x + 4(3) = 0$$ $$3x + 12 = 0$$ $$3x = -12$$ $$x = -4$$ Проверим решение, подставив найденные значения $x$ и $y$ во второе уравнение: $2(-4) + 3(3) = -8 + 9 = 1$. Равенство верно.

Ответ: $(-4; 3)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 7x + 2y = 0, \\ 4y + 9x = 10. \end{cases} $$ Для удобства приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв слагаемые местами: $$ \begin{cases} 7x + 2y = 0, \\ 9x + 4y = 10. \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $$ \begin{cases} -2(7x + 2y) = -2 \cdot 0, \\ 9x + 4y = 10; \end{cases} $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} -14x - 4y = 0, \\ 9x + 4y = 10. \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$(-14x - 4y) + (9x + 4y) = 0 + 10$$ $$-14x - 4y + 9x + 4y = 10$$ $$-5x = 10$$ $$x = -2$$ Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение: $$7(-2) + 2y = 0$$ $$-14 + 2y = 0$$ $$2y = 14$$ $$y = 7$$ Проверим решение, подставив найденные значения во второе уравнение: $4(7) + 9(-2) = 28 - 18 = 10$. Равенство верно.

Ответ: $(-2; 7)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5x + 6y = -20, \\ 9y + 2x = 25. \end{cases} $$ Приведем второе уравнение к стандартному виду: $$ \begin{cases} 5x + 6y = -20, \\ 2x + 9y = 25. \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5: $$ \begin{cases} 2(5x + 6y) = 2(-20), \\ -5(2x + 9y) = -5(25); \end{cases} $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} 10x + 12y = -40, \\ -10x - 45y = -125. \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$(10x + 12y) + (-10x - 45y) = -40 + (-125)$$ $$10x + 12y - 10x - 45y = -165$$ $$-33y = -165$$ $$y = \frac{-165}{-33} = 5$$ Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение: $$5x + 6(5) = -20$$ $$5x + 30 = -20$$ $$5x = -50$$ $$x = -10$$ Проверим решение, подставив значения во второе уравнение: $9(5) + 2(-10) = 45 - 20 = 25$. Равенство верно.

Ответ: $(-10; 5)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 1 = 8y, \\ 11y - 3x = -11. \end{cases} $$ Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$: $$ \begin{cases} 3x - 8y = -1, \\ -3x + 11y = -11. \end{cases} $$ Коэффициенты при $x$ уже являются противоположными числами, поэтому можно сразу сложить уравнения: $$(3x - 8y) + (-3x + 11y) = -1 + (-11)$$ $$3x - 8y - 3x + 11y = -12$$ $$3y = -12$$ $$y = -4$$ Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение: $$3x + 1 = 8(-4)$$ $$3x + 1 = -32$$ $$3x = -33$$ $$x = -11$$ Проверим решение, подставив значения во второе уравнение: $11(-4) - 3(-11) = -44 + 33 = -11$. Равенство верно.

Ответ: $(-11; -4)$.