Номер 1071, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1071, страница 213.

Условие.

1071. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 2u + 5v = 0, \\ -8u + 15v = 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 5p - 3q = 0, \\ 3p + 4q = 29; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 4u + 3v = 14, \\ 5u - 3v = 25; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 10p + 7q = -2, \\ 2p - 22 = 5q. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2u + 5v = 0 \\ -8u + 15v = 7 \end{cases}$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами:

$4 \cdot (2u + 5v) = 4 \cdot 0 \implies 8u + 20v = 0$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 8u + 20v = 0 \\ -8u + 15v = 7 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(8u + 20v) + (-8u + 15v) = 0 + 7$

$35v = 7$

$v = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$

Подставим найденное значение $v$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $u$:

$2u + 5 \cdot (\frac{1}{5}) = 0$

$2u + 1 = 0$

$2u = -1$

$u = -\frac{1}{2}$

Ответ: $u = -\frac{1}{2}, v = \frac{1}{5}$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5p - 3q = 0 \\ 3p + 4q = 29 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $p$ через $q$:

$5p = 3q \implies p = \frac{3}{5}q$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(\frac{3}{5}q) + 4q = 29$

$\frac{9}{5}q + 4q = 29$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:

$5 \cdot (\frac{9}{5}q + 4q) = 5 \cdot 29$

$9q + 20q = 145$

$29q = 145$

$q = \frac{145}{29} = 5$

Теперь найдем $p$, подставив значение $q=5$ в выражение для $p$:

$p = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3$

Ответ: $p = 3, q = 5$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4u + 3v = 14 \\ 5u - 3v = 25 \end{cases}$

Коэффициенты при переменной $v$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$), поэтому для решения удобно применить метод алгебраического сложения. Сложим два уравнения системы:

$(4u + 3v) + (5u - 3v) = 14 + 25$

$9u = 39$

$u = \frac{39}{9} = \frac{13}{3}$

Подставим найденное значение $u$ в первое уравнение, чтобы найти $v$:

$4(\frac{13}{3}) + 3v = 14$

$\frac{52}{3} + 3v = 14$

$3v = 14 - \frac{52}{3}$

$3v = \frac{14 \cdot 3}{3} - \frac{52}{3} = \frac{42 - 52}{3} = -\frac{10}{3}$

$v = -\frac{10}{3} \div 3 = -\frac{10}{9}$

Ответ: $u = \frac{13}{3}, v = -\frac{10}{9}$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 10p + 7q = -2 \\ 2p - 22 = 5q \end{cases}$

Сначала приведем второе уравнение к стандартному виду, перенеся члены с переменными в левую часть, а свободные члены - в правую:

$2p - 5q = 22$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 10p + 7q = -2 \\ 2p - 5q = 22 \end{cases}$

Используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на -5, чтобы коэффициенты при переменной $p$ стали противоположными:

$-5 \cdot (2p - 5q) = -5 \cdot 22 \implies -10p + 25q = -110$

Новая система:

$\begin{cases} 10p + 7q = -2 \\ -10p + 25q = -110 \end{cases}$

Сложим уравнения почленно:

$(10p + 7q) + (-10p + 25q) = -2 + (-110)$

$32q = -112$

$q = -\frac{112}{32} = -\frac{7 \cdot 16}{2 \cdot 16} = -\frac{7}{2}$

Подставим найденное значение $q$ в преобразованное второе уравнение ($2p - 5q = 22$), чтобы найти $p$:

$2p - 5(-\frac{7}{2}) = 22$

$2p + \frac{35}{2} = 22$

$2p = 22 - \frac{35}{2} = \frac{44}{2} - \frac{35}{2} = \frac{9}{2}$

$p = \frac{9}{2} \div 2 = \frac{9}{4}$

Ответ: $p = \frac{9}{4}, q = -\frac{7}{2}$.