Страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1068. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = x - 1, \\ 5x + 2y = 16; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x = 2 - y, \\ 3x - 2y - 11 = 0. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = x - 1 \\ 5x + 2y = 16 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. В первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$5x + 2(x - 1) = 16$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной $x$. Сначала раскроем скобки:

$5x + 2x - 2 = 16$

Приведем подобные слагаемые:

$7x - 2 = 16$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$7x = 16 + 2$

$7x = 18$

Найдем $x$:

$x = \frac{18}{7}$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x$ в первое уравнение системы:

$y = x - 1 = \frac{18}{7} - 1 = \frac{18}{7} - \frac{7}{7} = \frac{11}{7}$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(\frac{18}{7}; \frac{11}{7})$.

Ответ: $(\frac{18}{7}; \frac{11}{7})$

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x = 2 - y \\ 3x - 2y - 11 = 0 \end{cases}$

Эта система также удобна для решения методом подстановки, так как в первом уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$3(2 - y) - 2y - 11 = 0$

Решим полученное уравнение относительно $y$. Раскроем скобки:

$6 - 3y - 2y - 11 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-5y - 5 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-5y = 5$

Найдем $y$:

$y = \frac{5}{-5} = -1$

Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y$ в первое уравнение:

$x = 2 - y = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$

Следовательно, решением системы является пара чисел $(3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$

1070. Найдите решение системы уравнений:

a) $\begin{cases}2x + y = 12, \\7x - 2y = 31;\end{cases}$

б) $\begin{cases}y - 2x = 4, \\7x - y = 1;\end{cases}$

в) $\begin{cases}8y - x = 4, \\2x - 21y = 2;\end{cases}$

г) $\begin{cases}2x = y + 0.5, \\3x - 5y = 12.\end{cases}$

а) Дана система уравнений: $\begin{cases} 2x + y = 12, \\ 7x - 2y = 31; \end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$y = 12 - 2x$
Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$7x - 2(12 - 2x) = 31$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$7x - 24 + 4x = 31$
$11x = 31 + 24$
$11x = 55$
$x = \frac{55}{11} = 5$
Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=5$ в выражение $y = 12 - 2x$:
$y = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$
Таким образом, решение системы: $x=5, y=2$.
Ответ: $x=5, y=2$.

б) Дана система уравнений: $\begin{cases} y - 2x = 4, \\ 7x - y = 1; \end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны по знаку. Сложим левые и правые части уравнений:
$(y - 2x) + (7x - y) = 4 + 1$
Приведем подобные слагаемые:
$5x = 5$
$x = 1$
Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:
$y - 2(1) = 4$
$y - 2 = 4$
$y = 4 + 2 = 6$
Таким образом, решение системы: $x=1, y=6$.
Ответ: $x=1, y=6$.

в) Дана система уравнений: $\begin{cases} 8y - x = 4, \\ 2x - 21y = 2; \end{cases}$
Используем метод подстановки. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$-x = 4 - 8y$
$x = 8y - 4$
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(8y - 4) - 21y = 2$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$16y - 8 - 21y = 2$
$-5y = 2 + 8$
$-5y = 10$
$y = \frac{10}{-5} = -2$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y=-2$ в выражение $x = 8y - 4$:
$x = 8(-2) - 4 = -16 - 4 = -20$
Таким образом, решение системы: $x=-20, y=-2$.
Ответ: $x=-20, y=-2$.

г) Дана система уравнений: $\begin{cases} 2x = y + 0,5, \\ 3x - 5y = 12. \end{cases}$
Используем метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 2x - 0,5$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3x - 5(2x - 0,5) = 12$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$3x - 10x + 2,5 = 12$
$-7x = 12 - 2,5$
$-7x = 9,5$
$x = -\frac{9,5}{7} = -\frac{19/2}{7} = -\frac{19}{14}$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x = -\frac{19}{14}$ в выражение $y = 2x - 0,5$:
$y = 2(-\frac{19}{14}) - 0,5 = -\frac{19}{7} - \frac{1}{2}$
Приведем дроби к общему знаменателю 14:
$y = -\frac{38}{14} - \frac{7}{14} = -\frac{45}{14}$
Таким образом, решение системы: $x = -\frac{19}{14}, y = -\frac{45}{14}$.
Ответ: $x=-\frac{19}{14}, y=-\frac{45}{14}$.

1069. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} y - 2x = 1, \\ 6x - y = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7x - 3y = 13, \\ x - 2y = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 6, \\ 3x - 5y = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x - y = 11, \\ 6x - 2y = 13; \end{cases}$

д) $\begin{cases} y - x = 20, \\ 2x - 15y = -1; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 25 - x = -4y, \\ 3x - 2y = 30. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y - 2x = 1 \\ 6x - y = 7 \end{cases}$

Данную систему удобно решать методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(y - 2x) + (6x - y) = 1 + 7$

Приводим подобные слагаемые:

$4x = 8$

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$y - 2 \cdot 2 = 1$

$y - 4 = 1$

$y = 1 + 4$

$y = 5$

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:

$6 \cdot 2 - 5 = 12 - 5 = 7$. Равенство верно.

Ответ: $x = 2, y = 5$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 7x - 3y = 13 \\ x - 2y = 5 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 5 + 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$7(5 + 2y) - 3y = 13$

$35 + 14y - 3y = 13$

$11y = 13 - 35$

$11y = -22$

$y = \frac{-22}{11}$

$y = -2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 5 + 2(-2) = 5 - 4 = 1$

Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение:

$7 \cdot 1 - 3(-2) = 7 + 6 = 13$. Равенство верно.

Ответ: $x = 1, y = -2$.

в) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 6 \\ 3x - 5y = 2 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 6 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(6 - y) - 5y = 2$

$18 - 3y - 5y = 2$

$18 - 8y = 2$

$-8y = 2 - 18$

$-8y = -16$

$y = \frac{-16}{-8} = 2$

Теперь найдем $x$:

$x = 6 - 2 = 4$

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:

$3 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 12 - 10 = 2$. Равенство верно.

Ответ: $x = 4, y = 2$.

г) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 4x - y = 11 \\ 6x - 2y = 13 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 4x - 11$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$6x - 2(4x - 11) = 13$

$6x - 8x + 22 = 13$

$-2x = 13 - 22$

$-2x = -9$

$x = \frac{-9}{-2} = 4.5$

Теперь найдем $y$:

$y = 4(4.5) - 11 = 18 - 11 = 7$

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:

$6(4.5) - 2 \cdot 7 = 27 - 14 = 13$. Равенство верно.

Ответ: $x = 4.5, y = 7$.

д) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y - x = 20 \\ 2x - 15y = -1 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 20 + x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x - 15(20 + x) = -1$

$2x - 300 - 15x = -1$

$-13x = -1 + 300$

$-13x = 299$

$x = \frac{299}{-13} = -23$

Теперь найдем $y$:

$y = 20 + (-23) = -3$

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение:

$2(-23) - 15(-3) = -46 + 45 = -1$. Равенство верно.

Ответ: $x = -23, y = -3$.

е) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 25 - x = -4y \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$

Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:

$\begin{cases} x - 4y = 25 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$-2(3x - 2y) = -2 \cdot 30 \implies -6x + 4y = -60$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} x - 4y = 25 \\ -6x + 4y = -60 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - 4y) + (-6x + 4y) = 25 + (-60)$

$-5x = -35$

$x = \frac{-35}{-5} = 7$

Подставим значение $x$ во второе исходное уравнение:

$3 \cdot 7 - 2y = 30$

$21 - 2y = 30$

$-2y = 30 - 21$

$-2y = 9$

$y = \frac{9}{-2} = -4.5$

Проверим, подставив найденные значения в первое исходное уравнение:

$25 - 7 = 18$ и $-4(-4.5) = 18$. Равенство $18 = 18$ верно.

Ответ: $x = 7, y = -4.5$.

1071. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 2u + 5v = 0, \\ -8u + 15v = 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 5p - 3q = 0, \\ 3p + 4q = 29; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 4u + 3v = 14, \\ 5u - 3v = 25; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 10p + 7q = -2, \\ 2p - 22 = 5q. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2u + 5v = 0 \\ -8u + 15v = 7 \end{cases}$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами:

$4 \cdot (2u + 5v) = 4 \cdot 0 \implies 8u + 20v = 0$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 8u + 20v = 0 \\ -8u + 15v = 7 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(8u + 20v) + (-8u + 15v) = 0 + 7$

$35v = 7$

$v = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$

Подставим найденное значение $v$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $u$:

$2u + 5 \cdot (\frac{1}{5}) = 0$

$2u + 1 = 0$

$2u = -1$

$u = -\frac{1}{2}$

Ответ: $u = -\frac{1}{2}, v = \frac{1}{5}$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5p - 3q = 0 \\ 3p + 4q = 29 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $p$ через $q$:

$5p = 3q \implies p = \frac{3}{5}q$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(\frac{3}{5}q) + 4q = 29$

$\frac{9}{5}q + 4q = 29$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:

$5 \cdot (\frac{9}{5}q + 4q) = 5 \cdot 29$

$9q + 20q = 145$

$29q = 145$

$q = \frac{145}{29} = 5$

Теперь найдем $p$, подставив значение $q=5$ в выражение для $p$:

$p = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3$

Ответ: $p = 3, q = 5$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4u + 3v = 14 \\ 5u - 3v = 25 \end{cases}$

Коэффициенты при переменной $v$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$), поэтому для решения удобно применить метод алгебраического сложения. Сложим два уравнения системы:

$(4u + 3v) + (5u - 3v) = 14 + 25$

$9u = 39$

$u = \frac{39}{9} = \frac{13}{3}$

Подставим найденное значение $u$ в первое уравнение, чтобы найти $v$:

$4(\frac{13}{3}) + 3v = 14$

$\frac{52}{3} + 3v = 14$

$3v = 14 - \frac{52}{3}$

$3v = \frac{14 \cdot 3}{3} - \frac{52}{3} = \frac{42 - 52}{3} = -\frac{10}{3}$

$v = -\frac{10}{3} \div 3 = -\frac{10}{9}$

Ответ: $u = \frac{13}{3}, v = -\frac{10}{9}$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 10p + 7q = -2 \\ 2p - 22 = 5q \end{cases}$

Сначала приведем второе уравнение к стандартному виду, перенеся члены с переменными в левую часть, а свободные члены - в правую:

$2p - 5q = 22$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 10p + 7q = -2 \\ 2p - 5q = 22 \end{cases}$

Используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на -5, чтобы коэффициенты при переменной $p$ стали противоположными:

$-5 \cdot (2p - 5q) = -5 \cdot 22 \implies -10p + 25q = -110$

Новая система:

$\begin{cases} 10p + 7q = -2 \\ -10p + 25q = -110 \end{cases}$

Сложим уравнения почленно:

$(10p + 7q) + (-10p + 25q) = -2 + (-110)$

$32q = -112$

$q = -\frac{112}{32} = -\frac{7 \cdot 16}{2 \cdot 16} = -\frac{7}{2}$

Подставим найденное значение $q$ в преобразованное второе уравнение ($2p - 5q = 22$), чтобы найти $p$:

$2p - 5(-\frac{7}{2}) = 22$

$2p + \frac{35}{2} = 22$

$2p = 22 - \frac{35}{2} = \frac{44}{2} - \frac{35}{2} = \frac{9}{2}$

$p = \frac{9}{2} \div 2 = \frac{9}{4}$

Ответ: $p = \frac{9}{4}, q = -\frac{7}{2}$.