Страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1065. Решите уравнение:

а) $ \frac{2x - 3}{4} - 3x = \frac{x + 1}{2} $

б) $ 6 = \frac{3x - 1}{3} - \frac{x}{5} $

а) $\frac{2x - 3}{4} - 3x = \frac{x + 1}{2}$

Для решения этого уравнения необходимо избавиться от знаменателей. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2. Это число 4. Умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot \left(\frac{2x - 3}{4} - 3x\right) = 4 \cdot \left(\frac{x + 1}{2}\right)$

Выполним умножение для каждого члена уравнения:

$\frac{4(2x - 3)}{4} - 4 \cdot 3x = \frac{4(x + 1)}{2}$

Сократим дроби:

$(2x - 3) - 12x = 2(x + 1)$

Теперь раскроем скобки:

$2x - 3 - 12x = 2x + 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-10x - 3 = 2x + 2$

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Перенесем $2x$ влево, а $-3$ вправо, меняя их знаки:

$-10x - 2x = 2 + 3$

$-12x = 5$

Найдем $x$, разделив обе части на -12:

$x = \frac{5}{-12}$

$x = -\frac{5}{12}$

Ответ: $x = -\frac{5}{12}$.

б) $6 = \frac{3x - 1}{3} - \frac{x}{5}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, которое равно 15.

$15 \cdot 6 = 15 \cdot \left(\frac{3x - 1}{3} - \frac{x}{5}\right)$

Выполним умножение:

$90 = 15 \cdot \frac{3x - 1}{3} - 15 \cdot \frac{x}{5}$

Сократим дроби:

$90 = 5(3x - 1) - 3x$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$90 = 15x - 5 - 3x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$90 = (15x - 3x) - 5$

$90 = 12x - 5$

Перенесем число -5 в левую часть уравнения, изменив его знак:

$90 + 5 = 12x$

$95 = 12x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 12:

$x = \frac{95}{12}$

Эту дробь можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в смешанное число: $95 \div 12 = 7$ (остаток 11), то есть $7\frac{11}{12}$.

Ответ: $x = \frac{95}{12}$.

1067. Разложите на множители:

a) $a^3 + a^2 - x^2a - x^2$;

б) $b^3 + b^2c - 9b - 9c$.

а) $a^3 + a^2 - x^2a - x^2$

Для разложения на множители данного многочлена воспользуемся методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым.

$(a^3 + a^2) + (-x^2a - x^2)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $a^2$. Из второй группы вынесем за скобки общий множитель $-x^2$.

$a^2(a + 1) - x^2(a + 1)$

Теперь мы видим, что у получившихся слагаемых есть общий множитель — скобка $(a + 1)$. Вынесем ее за скобки.

$(a + 1)(a^2 - x^2)$

Выражение во второй скобке, $(a^2 - x^2)$, представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)$

Подставив результат в наше выражение, получаем окончательное разложение на множители.

$(a + 1)(a - x)(a + x)$

Ответ: $(a + 1)(a - x)(a + x)$

б) $b^3 + b^2c - 9b - 9c$

Для разложения этого многочлена также применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым.

$(b^3 + b^2c) + (-9b - 9c)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b^2$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-9$.

$b^2(b + c) - 9(b + c)$

У обоих получившихся слагаемых есть общий множитель — скобка $(b + c)$. Вынесем его за скобки.

$(b + c)(b^2 - 9)$

Выражение во второй скобке, $(b^2 - 9)$, является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$

Подставим это в наше выражение и получим окончательный результат разложения на множители.

$(b + c)(b - 3)(b + 3)$

Ответ: $(b + c)(b - 3)(b + 3)$

1064. Укажите какие-нибудь три решения системы уравнений:

a) $\begin{cases} x - 3y = 5, \\ 3x - 9y = 15; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 1.5y + x = -0.5, \\ 2x + 3y = -1. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - 3y = 5, \\ 3x - 9y = 15; \end{cases} $$

Проанализируем данную систему. Если мы разделим второе уравнение на 3, мы получим: $(3x - 9y) / 3 = 15 / 3$, что приводит к уравнению $x - 3y = 5$. Это уравнение в точности совпадает с первым уравнением системы.

Это означает, что оба уравнения являются зависимыми и описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Все точки, лежащие на этой прямой, являются решениями системы.

Чтобы найти конкретные решения, выразим переменную $x$ через $y$ из первого (или второго) уравнения:

$x = 5 + 3y$

Теперь мы можем задавать произвольные значения для переменной $y$ и вычислять соответствующие значения $x$. Найдем три таких решения:

1. Пусть $y = 0$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot 0 = 5$. Первое решение: $(5; 0)$.
2. Пусть $y = 1$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot 1 = 8$. Второе решение: $(8; 1)$.
3. Пусть $y = -2$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot (-2) = 5 - 6 = -1$. Третье решение: $(-1; -2)$.

Ответ: $(5; 0)$, $(8; 1)$, $(-1; -2)$ (существуют и другие решения).

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 1,5y + x = -0,5, \\ 2x + 3y = -1. \end{cases} $$

Для удобства анализа умножим первое уравнение на 2: $2(1,5y + x) = 2 \cdot (-0,5)$, что дает нам $3y + 2x = -1$. Поменяв слагаемые местами, получим $2x + 3y = -1$.

Как мы видим, преобразованное первое уравнение полностью идентично второму уравнению системы. Это значит, что, как и в предыдущем случае, система имеет бесконечное множество решений, и оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Для нахождения решений выразим одну переменную через другую. Используем второе уравнение $2x + 3y = -1$:

$2x = -1 - 3y$

$x = \frac{-1 - 3y}{2}$

Теперь выберем три произвольных значения для $y$ и найдем соответствующие значения $x$. Для удобства вычислений будем выбирать такие значения $y$, чтобы числитель $(-1-3y)$ был четным.

1. Пусть $y = 1$. Тогда $x = \frac{-1 - 3 \cdot 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. Первое решение: $(-2; 1)$.
2. Пусть $y = -1$. Тогда $x = \frac{-1 - 3 \cdot (-1)}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Второе решение: $(1; -1)$.
3. Пусть $y = 3$. Тогда $x = \frac{-1 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$. Третье решение: $(-5; 3)$.

Ответ: $(-2; 1)$, $(1; -1)$, $(-5; 3)$ (существуют и другие решения).

1066. Представьте в виде многочлена:

а) $(5c^2 - c + 8)(2c - 3) - 16;$

б) $18m^3 - (3m - 4)(6m^2 + m - 2).$

а) Чтобы представить выражение $(5c^2 - c + 8)(2c - 3) - 16$ в виде многочлена, сначала раскроем скобки, перемножив многочлены $(5c^2 - c + 8)$ и $(2c - 3)$. Для этого каждый член первого многочлена умножим на каждый член второго многочлена:

$(5c^2 - c + 8)(2c - 3) = 5c^2 \cdot 2c + 5c^2 \cdot (-3) - c \cdot 2c - c \cdot (-3) + 8 \cdot 2c + 8 \cdot (-3)$

$= 10c^3 - 15c^2 - 2c^2 + 3c + 16c - 24$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$10c^3 + (-15c^2 - 2c^2) + (3c + 16c) - 24 = 10c^3 - 17c^2 + 19c - 24$

Подставим полученный многочлен обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$(10c^3 - 17c^2 + 19c - 24) - 16 = 10c^3 - 17c^2 + 19c - 24 - 16$

$= 10c^3 - 17c^2 + 19c - 40$

Ответ: $10c^3 - 17c^2 + 19c - 40$.

б) Чтобы представить выражение $18m^3 - (3m - 4)(6m^2 + m - 2)$ в виде многочлена, сначала раскроем скобки, перемножив многочлены $(3m - 4)$ и $(6m^2 + m - 2)$:

$(3m - 4)(6m^2 + m - 2) = 3m \cdot 6m^2 + 3m \cdot m + 3m \cdot (-2) - 4 \cdot 6m^2 - 4 \cdot m - 4 \cdot (-2)$

$= 18m^3 + 3m^2 - 6m - 24m^2 - 4m + 8$

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$18m^3 + (3m^2 - 24m^2) + (-6m - 4m) + 8 = 18m^3 - 21m^2 - 10m + 8$

Теперь подставим результат в исходное выражение. Так как перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные:

$18m^3 - (18m^3 - 21m^2 - 10m + 8) = 18m^3 - 18m^3 + 21m^2 + 10m - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$(18m^3 - 18m^3) + 21m^2 + 10m - 8 = 21m^2 + 10m - 8$

Ответ: $21m^2 + 10m - 8$.

2 Что называется решением уравнения с двумя переменными? Является ли пара значений переменных $x = 7$, $y = 3$ решением уравнения $2x + y = 17$?

Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными, например $x$ и $y$, называется упорядоченная пара значений этих переменных $(x_0; y_0)$, при подстановке которых в уравнение оно превращается в верное числовое равенство.

Ответ: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

Является ли пара значений переменных $x=7, y=3$ решением уравнения $2x + y = 17$?

Чтобы проверить, является ли заданная пара значений решением уравнения, необходимо подставить значения $x=7$ и $y=3$ в уравнение $2x + y = 17$ и проверить, выполняется ли равенство.

Подставляем значения в левую часть уравнения:

$2 \cdot x + y = 2 \cdot 7 + 3$

Выполним вычисления:

$14 + 3 = 17$

Теперь сравним полученный результат с правой частью исходного уравнения:

$17 = 17$

Поскольку в результате подстановки левая часть уравнения оказалась равна правой, мы получили верное числовое равенство. Следовательно, данная пара значений является решением уравнения.

Ответ: да, является.

4 Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему уравнений?

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
Решением системы уравнений с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой в каждое из уравнений системы получается верное числовое равенство. Иными словами, это такая пара значений переменных, которая одновременно удовлетворяет всем уравнениям, входящим в систему.
Например, рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases} $$ Пара чисел $(5, 2)$ является решением этой системы, потому что при подстановке $x=5$ и $y=2$ оба равенства становятся верными:
$5 + 2 = 7$ (верно)
$5 - 2 = 3$ (верно)
Если бы мы взяли другую пару, например $(6, 1)$, она была бы решением только первого уравнения ($6+1=7$), но не второго ($6-1=5 \ne 3$), поэтому пара $(6, 1)$ не является решением системы.

Ответ: Решением системы уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, которая является решением каждого из уравнений системы.

Что значит решить систему уравнений?
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует. Результатом решения системы является множество всех её решений.
В процессе решения мы можем прийти к одному из трех возможных результатов:
1. Система имеет единственное решение. Это означает, что существует только одна пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет всем уравнениям системы. Графически это соответствует точке пересечения графиков уравнений.
2. Система имеет бесконечно много решений. Это происходит, когда уравнения системы являются зависимыми (например, одно уравнение можно получить из другого путем умножения на число). Графически это соответствует случаю, когда графики уравнений совпадают.
3. Система не имеет решений (несовместна). Это означает, что не существует ни одной пары чисел $(x, y)$, которая бы удовлетворяла всем уравнениям одновременно. Графически это соответствует параллельным графикам, которые никогда не пересекаются.

Ответ: Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, называемые коэффициентами. Важным условием является то, что хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не должен быть равен нулю. Математически это условие можно записать как $a^2 + b^2 \neq 0$.

Решением такого уравнения называют пару значений переменных $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в уравнение ($ax_0 + by_0 = c$) обращает его в верное числовое равенство. Графиком линейного уравнения с двумя переменными (при условии, что $a$ или $b$ не равны нулю) является прямая линия на координатной плоскости.

Ответ: Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида $ax + by = c$, в котором $x$ и $y$ являются переменными, $a$, $b$ и $c$ — числами (коэффициентами), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Приведите пример.

Примером линейного уравнения с двумя переменными может служить уравнение $5x - 2y = 10$.

В этом уравнении переменными являются $x$ и $y$. Коэффициенты имеют следующие значения: $a = 5$, $b = -2$ и $c = 10$. Условие, что не оба коэффициента при переменных равны нулю, выполняется, так как $a=5 \neq 0$ и $b=-2 \neq 0$.

Пара чисел $(2; 0)$ является одним из решений этого уравнения, так как при подстановке $x=2$ и $y=0$ получается верное равенство: $5 \cdot 2 - 2 \cdot 0 = 10 - 0 = 10$.

Ответ: $5x - 2y = 10$.

3 Что является графиком уравнения $ax + by = c$ с переменными $x$ и $y$, где $a \neq 0$ или $b \neq 0$?

Уравнение вида $ax + by = c$ является общим видом линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$. Условие, что $a \neq 0$ или $b \neq 0$, означает, что по крайней мере один из коэффициентов при переменных не равен нулю. Чтобы определить, что является графиком этого уравнения, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: коэффициент $b \neq 0$.

В этой ситуации мы можем выразить $y$ через $x$ из уравнения:

$by = -ax + c$

Разделив обе части на $b$, получим:

$y = (-\frac{a}{b})x + (\frac{c}{b})$

Полученное уравнение имеет вид $y = kx + m$, где $k = -\frac{a}{b}$ — угловой коэффициент, а $m = \frac{c}{b}$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$. Это каноническое уравнение прямой. Таким образом, если $b \neq 0$, графиком уравнения является прямая.

Случай 2: коэффициент $b = 0$.

Согласно условию, если $b = 0$, то коэффициент $a$ должен быть не равен нулю ($a \neq 0$). Уравнение принимает вид:

$ax + 0 \cdot y = c$

$ax = c$

Поскольку $a \neq 0$, мы можем разделить обе части на $a$:

$x = \frac{c}{a}$

Это уравнение задаёт множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса $x$ постоянна и равна $\frac{c}{a}$, в то время как ордината $y$ может быть любой. Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ (или совпадающая с ней, если $c=0$).

Таким образом, в любом случае, когда выполняется условие, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, графиком уравнения $ax + by = c$ является прямая линия.

Ответ: Прямая.

5 Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ имеет общий вид: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ Каждое такое уравнение графически представляет собой прямую на координатной плоскости. Количество решений системы зависит от взаимного расположения этих двух прямых. Существует три возможных случая.

Одно решение
Система имеет одно-единственное решение, если прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Координаты этой точки $(x; y)$ и являются решением системы.
Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых различны. Алгебраически это условие выражается как непропорциональность коэффициентов при переменных: $$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $$ Пример: $$ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} $$ Здесь $\frac{2}{1} \neq \frac{-1}{1}$. Система имеет единственное решение $(2; 3)$.

Нет решений
Система не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают. У таких прямых нет ни одной общей точки.
Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых равны, а точки пересечения с осью Y различны. Алгебраически это означает, что коэффициенты при переменных пропорциональны, но это отношение не равно отношению свободных членов: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$ Пример: $$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + 2y = 5 \end{cases} $$ Здесь $\frac{1}{1} = \frac{2}{2} \neq \frac{3}{5}$. Система не имеет решений.

Бесконечно много решений
Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. В этом случае любая точка одной прямой является также точкой другой прямой, то есть все точки прямой являются решениями системы.
Это происходит, когда оба уравнения по сути одинаковы (одно можно получить из другого умножением на число). Алгебраически это означает, что все коэффициенты пропорциональны: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$ Пример: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - 3y = 6 \end{cases} $$ Здесь $\frac{1}{3} = \frac{-1}{-3} = \frac{2}{6}$. Система имеет бесконечно много решений — это все пары чисел $(x; y)$, для которых $y = x - 2$.

Ответ: Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.