Номер 1067, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1067, страница 211.

Условие.

1067. Разложите на множители:

a) $a^3 + a^2 - x^2a - x^2$;

б) $b^3 + b^2c - 9b - 9c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $a^3 + a^2 - x^2a - x^2$

Для разложения на множители данного многочлена воспользуемся методом группировки. Сгруппируем попарно слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым.

$(a^3 + a^2) + (-x^2a - x^2)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $a^2$. Из второй группы вынесем за скобки общий множитель $-x^2$.

$a^2(a + 1) - x^2(a + 1)$

Теперь мы видим, что у получившихся слагаемых есть общий множитель — скобка $(a + 1)$. Вынесем ее за скобки.

$(a + 1)(a^2 - x^2)$

Выражение во второй скобке, $(a^2 - x^2)$, представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)$

Подставив результат в наше выражение, получаем окончательное разложение на множители.

$(a + 1)(a - x)(a + x)$

Ответ: $(a + 1)(a - x)(a + x)$

б) $b^3 + b^2c - 9b - 9c$

Для разложения этого многочлена также применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым.

$(b^3 + b^2c) + (-9b - 9c)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b^2$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-9$.

$b^2(b + c) - 9(b + c)$

У обоих получившихся слагаемых есть общий множитель — скобка $(b + c)$. Вынесем его за скобки.

$(b + c)(b^2 - 9)$

Выражение во второй скобке, $(b^2 - 9)$, является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$

Подставим это в наше выражение и получим окончательный результат разложения на множители.

$(b + c)(b - 3)(b + 3)$

Ответ: $(b + c)(b - 3)(b + 3)$