Номер 1060, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1060, страница 210.

Условие.

1060. Решите графически систему линейных уравнений:

a) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + 3y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y = 4, \\ -2x + 5y = 10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 0, \\ -3x + 4y = 14; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x - 2y = 6, \\ 3x + 10y = -12. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$

Для решения системы графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

1. Построим график первого уравнения: $x - y = 1$. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции: $y = x - 1$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.

2. Построим график второго уравнения: $x + 3y = 9$. Выразим $y$ через $x$: $3y = 9 - x$, откуда $y = -\frac{1}{3}x + 3$. Это также линейная функция. Найдем две точки для построения ее графика.

• Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{3}(0) + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• Если $x = 3$, то $y = -\frac{1}{3}(3) + 3 = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.

3. Построим оба графика. Прямая $y = x - 1$ проходит через точки $(0, -1)$ и $(3, 2)$. Прямая $y = -\frac{1}{3}x + 3$ проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 2)$. Графики пересекаются в точке с координатами $(3, 2)$.

Проверим, подставив найденные значения в исходную систему: $\begin{cases} 3 - 2 = 1 \\ 3 + 3 \cdot 2 = 9 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 1 = 1 \\ 9 = 9 \end{cases}$ Равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(3, 2)$

б) $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ -2x + 5y = 10 \end{cases}$

1. Построим график уравнения $x + 2y = 4$. Выразим $y$: $2y = 4 - x$, $y = -\frac{1}{2}x + 2$. Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{1}{2}(4) + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(4, 0)$.

2. Построим график уравнения $-2x + 5y = 10$. Выразим $y$: $5y = 2x + 10$, $y = \frac{2}{5}x + 2$. Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{5}(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $x = 5$, то $y = \frac{2}{5}(5) + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка $(5, 4)$.

3. Построив графики, мы видим, что обе прямые проходят через точку $(0, 2)$. Следовательно, это и есть точка их пересечения.

Проверка: $\begin{cases} 0 + 2 \cdot 2 = 4 \\ -2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 10 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 4 = 4 \\ 10 = 10 \end{cases}$ Равенства верны.

Ответ: $(0, 2)$

в) $\begin{cases} x + y = 0 \\ -3x + 4y = 14 \end{cases}$

1. Построим график уравнения $x + y = 0$. Выразим $y$: $y = -x$. Это прямая, проходящая через начало координат. Найдем еще одну точку:

• Если $x = 0$, то $y=0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$.

2. Построим график уравнения $-3x + 4y = 14$. Выразим $y$: $4y = 3x + 14$, $y = \frac{3}{4}x + \frac{14}{4} = \frac{3}{4}x + 3.5$. Найдем две точки:

• Если $x = -2$, то $y = \frac{3}{4}(-2) + 3.5 = -1.5 + 3.5 = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{3}{4}(2) + 3.5 = 1.5 + 3.5 = 5$. Точка $(2, 5)$.

3. Прямая $y=-x$ проходит через $(0,0)$ и $(-2,2)$. Прямая $y = \frac{3}{4}x + 3.5$ проходит через $(-2,2)$ и $(2,5)$. Точка пересечения графиков — $(-2, 2)$.

Проверка: $\begin{cases} -2 + 2 = 0 \\ -3(-2) + 4(2) = 14 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 0 = 0 \\ 6 + 8 = 14 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 0 = 0 \\ 14 = 14 \end{cases}$ Равенства верны.

Ответ: $(-2, 2)$

г) $\begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 3x + 10y = -12 \end{cases}$

1. Построим график уравнения $3x - 2y = 6$. Выразим $y$: $-2y = 6 - 3x$, $y = \frac{3}{2}x - 3$. Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{3}{2}(2) - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(2, 0)$.

2. Построим график уравнения $3x + 10y = -12$. Выразим $y$: $10y = -3x - 12$, $y = -\frac{3}{10}x - \frac{12}{10} = -0.3x - 1.2$. Найдем две точки:

• Если $x = -4$, то $y = -0.3(-4) - 1.2 = 1.2 - 1.2 = 0$. Точка $(-4, 0)$.
• Если $x = 6$, то $y = -0.3(6) - 1.2 = -1.8 - 1.2 = -3$. Точка $(6, -3)$.

3. Построим прямую $y = \frac{3}{2}x - 3$ через точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$, и прямую $y = -0.3x - 1.2$ через точки $(-4, 0)$ и $(6, -3)$. Точка пересечения графиков является решением. На глаз определить координаты может быть сложно. Для точности можно решить систему алгебраически (например, методом вычитания), чтобы найти точные координаты точки пересечения. Вычтем второе уравнение из первого: $(3x - 2y) - (3x + 10y) = 6 - (-12)$ $-12y = 18$ $y = -\frac{18}{12} = -1.5$ Подставим $y = -1.5$ в первое уравнение: $3x - 2(-1.5) = 6 \implies 3x + 3 = 6 \implies 3x = 3 \implies x = 1$. Точка пересечения: $(1, -1.5)$.

Проверка: $\begin{cases} 3(1) - 2(-1.5) = 6 \\ 3(1) + 10(-1.5) = -12 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 3 + 3 = 6 \\ 3 - 15 = -12 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 6 = 6 \\ -12 = -12 \end{cases}$ Равенства верны.

Ответ: $(1, -1.5)$