Номер 1055, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. График линейного уравнения с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1055, страница 207.

Условие.

1055. Найдите значение выражения:

а) $a(a - 4) - (a + 4)^2$ при $a = -1\frac{1}{4}$;

б) $(2a - 5)^2 - 4(a - 1)(3 + a)$ при $a = \frac{1}{12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a)

Чтобы найти значение выражения $a(a - 4) - (a + 4)^2$ при $a = -1\frac{1}{4}$, сначала упростим его.

Раскроем скобки. Первую — умножением $a$ на каждый член в скобке. Вторую — по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$a(a - 4) - (a + 4)^2 = (a^2 - 4a) - (a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) = a^2 - 4a - (a^2 + 8a + 16)$.

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знак каждого слагаемого внутри них на противоположный:

$a^2 - 4a - a^2 - 8a - 16$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-4a - 8a) - 16 = 0 - 12a - 16 = -12a - 16$.

Теперь подставим значение $a = -1\frac{1}{4}$ в упрощенное выражение. Для удобства вычислений переведем смешанное число в неправильную дробь: $a = -1\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{5}{4}$.

$-12a - 16 = -12 \cdot (-\frac{5}{4}) - 16$.

Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сократим 12 и 4:

$\frac{12 \cdot 5}{4} - 16 = 3 \cdot 5 - 16 = 15 - 16 = -1$.

Ответ: -1

б)

Чтобы найти значение выражения $(2a - 5)^2 - 4(a - 1)(3 + a)$ при $a = \frac{1}{12}$, сначала упростим его.

Раскроем скобки. Для $(2a - 5)^2$ используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Затем перемножим многочлены $(a - 1)$ и $(3 + a)$.

$(2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$.

$(a - 1)(3 + a) = a \cdot 3 + a \cdot a - 1 \cdot 3 - 1 \cdot a = 3a + a^2 - 3 - a = a^2 + 2a - 3$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(4a^2 - 20a + 25) - 4(a^2 + 2a - 3)$.

Раскроем вторые скобки, умножив каждое слагаемое на -4:

$4a^2 - 20a + 25 - 4a^2 - 8a + 12$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a^2) + (-20a - 8a) + (25 + 12) = 0 - 28a + 37 = -28a + 37$.

Теперь подставим значение $a = \frac{1}{12}$ в упрощенное выражение:

$-28a + 37 = -28 \cdot \frac{1}{12} + 37 = -\frac{28}{12} + 37$.

Сократим дробь $-\frac{28}{12}$ на 4: $-\frac{28 \div 4}{12 \div 4} = -\frac{7}{3}$.

Получаем: $-\frac{7}{3} + 37$. Чтобы выполнить сложение, приведем 37 к знаменателю 3:

$37 = \frac{37 \cdot 3}{3} = \frac{111}{3}$.

$-\frac{7}{3} + \frac{111}{3} = \frac{111 - 7}{3} = \frac{104}{3}$.

Выделим из неправильной дроби целую часть: $\frac{104}{3} = 34\frac{2}{3}$.

Ответ: $34\frac{2}{3}$