Номер 1053, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. График линейного уравнения с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1053, страница 206.

Условие.

1053. (Для работы в парах.) Не выполняя построения, определите, в каких координатных четвертях расположен график уравнения:

а) $12x - 8y = 25$; б) $6x + 3y = 11$; в) $1,5x = 150$; г) $0,2x = 43$.

1) Обсудите друг с другом, в каких координатных углах при $a \ge 0, b \ge 0$ может быть расположен график уравнения: $ax = b$; $ay = b$; $ax + by = c$.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $12x - 8y = 25$

Для определения координатных четвертей, в которых расположен график, найдем точки его пересечения с осями координат, не выполняя полного построения.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy). Для этого в уравнении положим $x = 0$:

$12 \cdot 0 - 8y = 25$

$-8y = 25$

$y = -25/8 = -3,125$

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -3,125)$. Так как ордината отрицательна, эта точка лежит на отрицательной части оси Oy.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Для этого в уравнении положим $y = 0$:

$12x - 8 \cdot 0 = 25$

$12x = 25$

$x = 25/12$

Точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(25/12; 0)$. Так как абсцисса положительна, эта точка лежит на положительной части оси Ox.

Прямая проходит через точку на положительной части оси Ox и точку на отрицательной части оси Oy. Такая прямая пересекает I, III и IV координатные четверти.

Ответ: График уравнения расположен в I, III и IV координатных четвертях.

б) $6x + 3y = 11$

1. Найдем точку пересечения с осью Oy, положив $x=0$:

$6 \cdot 0 + 3y = 11 \implies 3y = 11 \implies y = 11/3$.

Точка пересечения $(0; 11/3)$ лежит на положительной части оси Oy.

2. Найдем точку пересечения с осью Ox, положив $y=0$:

$6x + 3 \cdot 0 = 11 \implies 6x = 11 \implies x = 11/6$.

Точка пересечения $(11/6; 0)$ лежит на положительной части оси Ox.

Прямая проходит через точки на положительных частях осей Ox и Oy. Следовательно, прямая пересекает I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График уравнения расположен в I, II и IV координатных четвертях.

в) $1,5x = 150$

Упростим данное уравнение, выразив $x$:

$x = 150 / 1,5$

$x = 100$

Это уравнение задает вертикальную прямую, которая проходит через точку $(100; 0)$ и параллельна оси Oy. Для любой точки на этой прямой координата $x$ всегда равна 100 (положительное число). Координата $y$ может быть любым числом.

• Если $y > 0$, точки вида $(100; y)$ лежат в I координатной четверти.
• Если $y < 0$, точки вида $(100; y)$ лежат в IV координатной четверти.

Ответ: График уравнения расположен в I и IV координатных четвертях.

г) $0,2x = 43$

Упростим уравнение:

$x = 43 / 0,2$

$x = 215$

Это уравнение задает вертикальную прямую, проходящую через точку $(215; 0)$ параллельно оси Oy. Координата $x$ для всех точек графика положительна ($x=215$).

• При $y > 0$ точки лежат в I координатной четверти.
• При $y < 0$ точки лежат в IV координатной четверти.

Ответ: График уравнения расположен в I и IV координатных четвертях.

1) Обсудите друг с другом, в каких координатных углах при $a \ge 0, b \ge 0$ может быть расположен график уравнения: $ax = b; ay = b; ax + by = c$.

Проанализируем каждый тип уравнения при заданных условиях $a \ge 0, b \ge 0$.

Уравнение $ax = b$

Если $a > 0$, то $x = b/a$. Это вертикальная прямая. Так как $b \ge 0$, то $x = b/a \ge 0$.

• Если $b > 0$, то $x > 0$. График — вертикальная прямая в I и IV четвертях.
• Если $b = 0$, то $x = 0$. График — ось Oy, которая является границей четвертей.

Уравнение $ay = b$

Если $a > 0$, то $y = b/a$. Это горизонтальная прямая. Так как $b \ge 0$, то $y = b/a \ge 0$.

• Если $b > 0$, то $y > 0$. График — горизонтальная прямая в I и II четвертях.
• Если $b = 0$, то $y = 0$. График — ось Ox, которая является границей четвертей.

Уравнение $ax + by = c$ (при $a \ge 0, b \ge 0$)

Рассмотрим случай, когда $a > 0$ и $b > 0$.

• Если $c > 0$, то точки пересечения с осями $x=c/a > 0$ и $y=c/b > 0$. Обе точки на положительных полуосях. График проходит через I, II и IV четверти.
• Если $c = 0$, то $ax + by = 0$. График проходит через начало координат $(0,0)$ и имеет отрицательный наклон, располагаясь во II и IV четвертях.
• Если $c < 0$, то точки пересечения $x=c/a < 0$ и $y=c/b < 0$. Обе точки на отрицательных полуосях. График проходит через II, III и IV четверти.

Частные случаи, когда один из коэффициентов ($a$ или $b$) равен нулю, сводятся к первым двум типам уравнений, но с возможностью отрицательного $c$. Например, если $a > 0, b = 0$, то $ax = c$. При $c<0$ график ($x=c/a < 0$) будет во II и III четвертях.

Ответ: При $a>0, b \ge 0$ график уравнения $ax=b$ расположен в I и IV четвертях (или на оси Oy). При $a>0, b \ge 0$ график уравнения $ay=b$ расположен в I и II четвертях (или на оси Ox). При $a>0, b>0$ график уравнения $ax+by=c$ в зависимости от знака $c$ может располагаться в I, II, IV четвертях (при $c>0$), во II и IV четвертях (при $c=0$), или во II, III, IV четвертях (при $c<0$).