Номер 1062, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1062, страница 210.

Условие.

1062. Выясните, имеет ли система решения и сколько:

a) $\begin{cases} 4y - x = 12 \\ 3y + x = -3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - 3x = 0 \\ 3y - x = 6 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 1.5x = 1 \\ -3x + 2y = -2 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0.5x \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x = 11 - 2y \\ 6y = 22 - 4x \end{cases}$

е) $\begin{cases} -x + 2y = 8 \\ x + 4y = 10 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $$ \begin{cases} 4y - x = 12 \\ 3y + x = -3 \end{cases} $$

Чтобы определить количество решений системы, приведем оба уравнения к виду линейной функции $y = kx + b$ и сравним их угловые коэффициенты $k$.
Первое уравнение: $4y = x + 12 \implies y = \frac{1}{4}x + 3$. Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{4}$.
Второе уравнение: $3y = -x - 3 \implies y = -\frac{1}{3}x - 1$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{3}$.
Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

б) $$ \begin{cases} y - 3x = 0 \\ 3y - x = 6 \end{cases} $$

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $y = 3x$. Угловой коэффициент $k_1 = 3$.
Второе уравнение: $3y = x + 6 \implies y = \frac{1}{3}x + 2$. Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{3}$.
Так как угловые коэффициенты не равны ($3 \neq \frac{1}{3}$), прямые пересекаются в одной точке. Значит, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

в) $$ \begin{cases} 1,5x = 1 \\ -3x + 2y = -2 \end{cases} $$

Из первого уравнения системы можно однозначно найти значение $x$: $x = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
Подставив это значение во второе уравнение, найдем соответствующее значение $y$:
$-3(\frac{2}{3}) + 2y = -2$
$-2 + 2y = -2$
$2y = 0 \implies y = 0$.
Поскольку существует единственная пара значений $(x, y) = (\frac{2}{3}, 0)$, которая является решением, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

г) $$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0,5x \end{cases} $$

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $2y = -x + 3 \implies y = -0,5x + 1,5$. Угловой коэффициент $k_1 = -0,5$, свободный член $b_1 = 1,5$.
Второе уравнение уже представлено в этом виде: $y = -0,5x$ (или $y = -0,5x + 0$). Угловой коэффициент $k_2 = -0,5$, свободный член $b_2 = 0$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

д) $$ \begin{cases} 2x = 11 - 2y \\ 6y = 22 - 4x \end{cases} $$

Выразим $y$ через $x$ в каждом уравнении, чтобы сравнить параметры линейных функций.
Первое уравнение: $2y = -2x + 11 \implies y = -x + 5,5$. Угловой коэффициент $k_1 = -1$.
Второе уравнение: $6y = -4x + 22 \implies y = -\frac{4}{6}x + \frac{22}{6} \implies y = -\frac{2}{3}x + \frac{11}{3}$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{2}{3}$.
Поскольку угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются в одной точке. Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.

е) $$ \begin{cases} -x + 2y = 8 \\ x + 4y = 10 \end{cases} $$

Найдем угловые коэффициенты для каждого уравнения, приведя их к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение: $2y = x + 8 \implies y = \frac{1}{2}x + 4$. Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.
Второе уравнение: $4y = -x + 10 \implies y = -\frac{1}{4}x + 2,5$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{4}$.
Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет одно решение.