Номер 1064, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1064, страница 211.

Условие.

1064. Укажите какие-нибудь три решения системы уравнений:

a) $\begin{cases} x - 3y = 5, \\ 3x - 9y = 15; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 1.5y + x = -0.5, \\ 2x + 3y = -1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - 3y = 5, \\ 3x - 9y = 15; \end{cases} $$

Проанализируем данную систему. Если мы разделим второе уравнение на 3, мы получим: $(3x - 9y) / 3 = 15 / 3$, что приводит к уравнению $x - 3y = 5$. Это уравнение в точности совпадает с первым уравнением системы.

Это означает, что оба уравнения являются зависимыми и описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Все точки, лежащие на этой прямой, являются решениями системы.

Чтобы найти конкретные решения, выразим переменную $x$ через $y$ из первого (или второго) уравнения:

$x = 5 + 3y$

Теперь мы можем задавать произвольные значения для переменной $y$ и вычислять соответствующие значения $x$. Найдем три таких решения:

1. Пусть $y = 0$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot 0 = 5$. Первое решение: $(5; 0)$.
2. Пусть $y = 1$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot 1 = 8$. Второе решение: $(8; 1)$.
3. Пусть $y = -2$. Тогда $x = 5 + 3 \cdot (-2) = 5 - 6 = -1$. Третье решение: $(-1; -2)$.

Ответ: $(5; 0)$, $(8; 1)$, $(-1; -2)$ (существуют и другие решения).

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 1,5y + x = -0,5, \\ 2x + 3y = -1. \end{cases} $$

Для удобства анализа умножим первое уравнение на 2: $2(1,5y + x) = 2 \cdot (-0,5)$, что дает нам $3y + 2x = -1$. Поменяв слагаемые местами, получим $2x + 3y = -1$.

Как мы видим, преобразованное первое уравнение полностью идентично второму уравнению системы. Это значит, что, как и в предыдущем случае, система имеет бесконечное множество решений, и оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Для нахождения решений выразим одну переменную через другую. Используем второе уравнение $2x + 3y = -1$:

$2x = -1 - 3y$

$x = \frac{-1 - 3y}{2}$

Теперь выберем три произвольных значения для $y$ и найдем соответствующие значения $x$. Для удобства вычислений будем выбирать такие значения $y$, чтобы числитель $(-1-3y)$ был четным.

1. Пусть $y = 1$. Тогда $x = \frac{-1 - 3 \cdot 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. Первое решение: $(-2; 1)$.
2. Пусть $y = -1$. Тогда $x = \frac{-1 - 3 \cdot (-1)}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Второе решение: $(1; -1)$.
3. Пусть $y = 3$. Тогда $x = \frac{-1 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$. Третье решение: $(-5; 3)$.

Ответ: $(-2; 1)$, $(1; -1)$, $(-5; 3)$ (существуют и другие решения).