Номер 4, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 4, страница 211.

Условие.

4 Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему уравнений?

Решение 1.

Решение 5.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
Решением системы уравнений с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой в каждое из уравнений системы получается верное числовое равенство. Иными словами, это такая пара значений переменных, которая одновременно удовлетворяет всем уравнениям, входящим в систему.
Например, рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases} $$ Пара чисел $(5, 2)$ является решением этой системы, потому что при подстановке $x=5$ и $y=2$ оба равенства становятся верными:
$5 + 2 = 7$ (верно)
$5 - 2 = 3$ (верно)
Если бы мы взяли другую пару, например $(6, 1)$, она была бы решением только первого уравнения ($6+1=7$), но не второго ($6-1=5 \ne 3$), поэтому пара $(6, 1)$ не является решением системы.

Ответ: Решением системы уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, которая является решением каждого из уравнений системы.

Что значит решить систему уравнений?
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует. Результатом решения системы является множество всех её решений.
В процессе решения мы можем прийти к одному из трех возможных результатов:
1. Система имеет единственное решение. Это означает, что существует только одна пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет всем уравнениям системы. Графически это соответствует точке пересечения графиков уравнений.
2. Система имеет бесконечно много решений. Это происходит, когда уравнения системы являются зависимыми (например, одно уравнение можно получить из другого путем умножения на число). Графически это соответствует случаю, когда графики уравнений совпадают.
3. Система не имеет решений (несовместна). Это означает, что не существует ни одной пары чисел $(x, y)$, которая бы удовлетворяла всем уравнениям одновременно. Графически это соответствует параллельным графикам, которые никогда не пересекаются.

Ответ: Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.