Номер 1070, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1070, страница 213.

Условие.

1070. Найдите решение системы уравнений:

a) $\begin{cases}2x + y = 12, \\7x - 2y = 31;\end{cases}$

б) $\begin{cases}y - 2x = 4, \\7x - y = 1;\end{cases}$

в) $\begin{cases}8y - x = 4, \\2x - 21y = 2;\end{cases}$

г) $\begin{cases}2x = y + 0.5, \\3x - 5y = 12.\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана система уравнений: $\begin{cases} 2x + y = 12, \\ 7x - 2y = 31; \end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$y = 12 - 2x$
Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$7x - 2(12 - 2x) = 31$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$7x - 24 + 4x = 31$
$11x = 31 + 24$
$11x = 55$
$x = \frac{55}{11} = 5$
Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=5$ в выражение $y = 12 - 2x$:
$y = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$
Таким образом, решение системы: $x=5, y=2$.
Ответ: $x=5, y=2$.

б) Дана система уравнений: $\begin{cases} y - 2x = 4, \\ 7x - y = 1; \end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны по знаку. Сложим левые и правые части уравнений:
$(y - 2x) + (7x - y) = 4 + 1$
Приведем подобные слагаемые:
$5x = 5$
$x = 1$
Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:
$y - 2(1) = 4$
$y - 2 = 4$
$y = 4 + 2 = 6$
Таким образом, решение системы: $x=1, y=6$.
Ответ: $x=1, y=6$.

в) Дана система уравнений: $\begin{cases} 8y - x = 4, \\ 2x - 21y = 2; \end{cases}$
Используем метод подстановки. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$-x = 4 - 8y$
$x = 8y - 4$
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(8y - 4) - 21y = 2$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$16y - 8 - 21y = 2$
$-5y = 2 + 8$
$-5y = 10$
$y = \frac{10}{-5} = -2$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y=-2$ в выражение $x = 8y - 4$:
$x = 8(-2) - 4 = -16 - 4 = -20$
Таким образом, решение системы: $x=-20, y=-2$.
Ответ: $x=-20, y=-2$.

г) Дана система уравнений: $\begin{cases} 2x = y + 0,5, \\ 3x - 5y = 12. \end{cases}$
Используем метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 2x - 0,5$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3x - 5(2x - 0,5) = 12$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$3x - 10x + 2,5 = 12$
$-7x = 12 - 2,5$
$-7x = 9,5$
$x = -\frac{9,5}{7} = -\frac{19/2}{7} = -\frac{19}{14}$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x = -\frac{19}{14}$ в выражение $y = 2x - 0,5$:
$y = 2(-\frac{19}{14}) - 0,5 = -\frac{19}{7} - \frac{1}{2}$
Приведем дроби к общему знаменателю 14:
$y = -\frac{38}{14} - \frac{7}{14} = -\frac{45}{14}$
Таким образом, решение системы: $x = -\frac{19}{14}, y = -\frac{45}{14}$.
Ответ: $x=-\frac{19}{14}, y=-\frac{45}{14}$.