Страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1100. Техническое перевооружение цеха позволило выпустить в феврале на 165 изделий больше, чем в январе. Сколько изделий было выпущено в январе и сколько в феврале, если известно, что за эти месяцы цех выпустил 1315 изделий?

Для решения данной задачи составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество изделий, которое цех выпустил в январе.

Из условия известно, что в феврале цех выпустил на 165 изделий больше, чем в январе. Следовательно, количество изделий, выпущенных в феврале, можно выразить как $x + 165$.

Общее количество изделий, выпущенных за два месяца, составляет 1315. Мы можем составить уравнение, сложив количество изделий за январь и февраль:

$x + (x + 165) = 1315$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Раскроем скобки и объединим подобные члены:

$2x + 165 = 1315$

2. Вычтем 165 из обеих частей уравнения, чтобы изолировать член с переменной $x$:

$2x = 1315 - 165$

$2x = 1150$

3. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1150}{2}$

$x = 575$

Таким образом, в январе было выпущено 575 изделий.

Теперь, зная количество изделий за январь, найдем количество изделий, выпущенных в феврале:

$575 + 165 = 740$

В феврале было выпущено 740 изделий.

Проверим наше решение:

Общее количество изделий: $575 + 740 = 1315$.

Разница в выпуске: $740 - 575 = 165$.

Результаты соответствуют условиям задачи.

Ответ: в январе было выпущено 575 изделий, в феврале — 740 изделий.

1102. На теннисном корте для игры пар теннисистов выделяется площадка прямоугольной формы. Найдите длину и ширину площадки, если известно, что длина больше ширины на 12,8 м, а периметр прямоугольника равен 69,48 м.

Для решения задачи введем переменные. Пусть ширина прямоугольной площадки будет $w$ метров, а её длина — $l$ метров.

Согласно условию, длина площадки больше её ширины на 12,8 м. Это можно записать в виде математического уравнения:
$l = w + 12,8$

Также известно, что периметр прямоугольника равен 69,48 м. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. Составим второе уравнение на основе этих данных:
$2(l + w) = 69,48$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Чтобы найти значения $l$ и $w$, подставим выражение для $l$ из первого уравнения во второе:
$2((w + 12,8) + w) = 69,48$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение ширины $w$:
1. Упростим выражение внутри скобок:
$2(2w + 12,8) = 69,48$
2. Разделим обе части уравнения на 2. Это даст нам сумму длины и ширины (полупериметр):
$2w + 12,8 = \frac{69,48}{2}$
$2w + 12,8 = 34,74$
3. Перенесем 12,8 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$2w = 34,74 - 12,8$
$2w = 21,94$
4. Найдем $w$, разделив обе части на 2:
$w = \frac{21,94}{2}$
$w = 10,97$
Итак, ширина площадки равна 10,97 м.

Теперь, зная ширину, мы можем легко найти длину, подставив значение $w$ в первое уравнение:
$l = w + 12,8$
$l = 10,97 + 12,8$
$l = 23,77$
Следовательно, длина площадки равна 23,77 м.

Ответ: ширина площадки — 10,97 м, длина площадки — 23,77 м.

1099. В фермерском хозяйстве под гречиху и просо отведено 19 га, причём гречиха занимает на 5 га больше, чем просо. Сколько гектаров отведено под каждую из этих культур?

Для решения задачи составим и решим уравнение. Обозначим за $x$ количество гектаров, отведенное под просо.

Поскольку под гречиху отведено на 5 га больше, чем под просо, то площадь под гречиху можно выразить как $(x + 5)$ га.

Общая площадь, отведенная под обе культуры, составляет 19 га. Следовательно, мы можем составить следующее уравнение, сложив площади под просо и гречиху:

$x + (x + 5) = 19$

Теперь решим это уравнение поэтапно:

1. Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые (в данном случае $x$ и $x$):

$2x + 5 = 19$

2. Перенесём число 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$2x = 19 - 5$

$2x = 14$

3. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{14}{2}$

$x = 7$

Таким образом, площадь, отведенная под просо, составляет 7 га.

Теперь найдем площадь, отведенную под гречиху, подставив найденное значение $x$ в выражение $(x + 5)$:

$7 + 5 = 12$ га.

Проверим полученные результаты: $7$ га (просо) + $12$ га (гречиха) = $19$ га (общая площадь). Разница между площадями $12 - 7 = 5$ га. Условия задачи выполнены.

Ответ: под гречиху отведено 12 га, а под просо — 7 га.

1101. В мастерской «Автосервис» отремонтировали 22 легковых и грузовых автомобиля. Среди них легковых было на 8 меньше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей отремонтировали в мастерской?

Решение:

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ – это количество грузовых автомобилей, отремонтированных в мастерской.

Согласно условию, легковых автомобилей было на 8 меньше, чем грузовых. Значит, количество легковых автомобилей можно выразить через $x$ как $(x - 8)$.

Всего было отремонтировано 22 автомобиля. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму грузовых и легковых автомобилей к общему количеству:

$x + (x - 8) = 22$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$x + x - 8 = 22$

2. Сложим одинаковые члены:

$2x - 8 = 22$

3. Перенесем число -8 в правую часть уравнения, изменив его знак на "+":

$2x = 22 + 8$

$2x = 30$

4. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = 30 / 2$

$x = 15$

Таким образом, количество грузовых автомобилей, отремонтированных в мастерской, равно 15.

Для проверки можно найти количество легковых автомобилей: $15 - 8 = 7$.

Общее количество автомобилей: $15 \text{ (грузовых)} + 7 \text{ (легковых)} = 22$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: в мастерской отремонтировали 15 грузовых автомобилей.