Номер 1078, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Способ подстановки. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1078, страница 214.

Условие.

1078. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6, \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3, \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \\ \frac{3x}{2} - y = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{3x}{5} - 2y = 5, \\ x - \frac{3y}{2} = 6,5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6 \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0 \end{cases}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 5), а второе уравнение на 60 (наименьшее общее кратное для 15 и 12).
$20(\frac{y}{4} - \frac{x}{5}) = 20 \cdot 6 \implies 5y - 4x = 120$
$60(\frac{x}{15} + \frac{y}{12}) = 60 \cdot 0 \implies 4x + 5y = 0$
Получаем эквивалентную систему, которую удобнее решать:$\begin{cases} -4x + 5y = 120 \\ 4x + 5y = 0 \end{cases}$
Теперь сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $x$:
$(-4x + 5y) + (4x + 5y) = 120 + 0$
$10y = 120$
$y = 12$
Подставим найденное значение $y$ в любое из упрощенных уравнений, например, во второе:
$4x + 5(12) = 0$
$4x + 60 = 0$
$4x = -60$
$x = -15$
Ответ: $x = -15, y = 12$.

б) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3 \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2 \end{cases}$.
Для упрощения избавимся от дробей и десятичных чисел. Умножим оба уравнения на 30 (наименьшее общее кратное для 5, 15, 10, 3):
$30(\frac{6x}{5} + \frac{y}{15}) = 30 \cdot 2,3 \implies 36x + 2y = 69$
$30(\frac{x}{10} - \frac{2y}{3}) = 30 \cdot 1,2 \implies 3x - 20y = 36$
Получаем систему:$\begin{cases} 36x + 2y = 69 \\ 3x - 20y = 36 \end{cases}$
Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 10, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$10(36x + 2y) = 10 \cdot 69 \implies 360x + 20y = 690$
Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:
$(360x + 20y) + (3x - 20y) = 690 + 36$
$363x = 726$
$x = 2$
Подставим $x=2$ во второе упрощенное уравнение:$3(2) - 20y = 36$
$6 - 20y = 36$
$-20y = 30$
$y = -1,5$
Ответ: $x = 2, y = -1,5$.

в) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{3x}{2} - y = 6 \end{cases}$.
Заметим, что если умножить первое уравнение на 3, мы получим второе уравнение:
$3(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 3 \cdot 2$
$\frac{3x}{2} - \frac{3y}{3} = 6$
$\frac{3x}{2} - y = 6$
Так как оба уравнения являются, по сути, одним и тем же уравнением, система имеет бесконечное множество решений. Все точки $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $3x - 2y = 12$ (упрощенная форма любого из уравнений), являются решениями.
Выразим одну переменную через другую, например, $y$ через $x$ из уравнения $\frac{3x}{2} - y = 6$:
$-y = 6 - \frac{3x}{2}$
$y = \frac{3x}{2} - 6$
Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(x, \frac{3}{2}x - 6)$, где $x$ — любое действительное число.

г) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \frac{3x}{5} - 2y = 5 \\ x - \frac{3y}{2} = 6,5 \end{cases}$.
Упростим систему, умножив первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы избавиться от знаменателей:
$5(\frac{3x}{5} - 2y) = 5 \cdot 5 \implies 3x - 10y = 25$
$2(x - \frac{3y}{2}) = 2 \cdot 6,5 \implies 2x - 3y = 13$
Получаем систему:$\begin{cases} 3x - 10y = 25 \\ 2x - 3y = 13 \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы исключить $x$:
$2(3x - 10y) = 2 \cdot 25 \implies 6x - 20y = 50$
$-3(2x - 3y) = -3 \cdot 13 \implies -6x + 9y = -39$
Сложим полученные уравнения:
$(6x - 20y) + (-6x + 9y) = 50 - 39$
$-11y = 11$
$y = -1$
Подставим $y=-1$ во второе упрощенное уравнение $2x - 3y = 13$:
$2x - 3(-1) = 13$
$2x + 3 = 13$
$2x = 10$
$x = 5$
Ответ: $x = 5, y = -1$.